| 研究実績の概要 |
・量子曲線の Voros 係数と位相的漸化式の自由エネルギーについて.
小池達也氏 (神戸大) と竹井優美 子氏 (神戸大) との共同研究により、超幾何微分方程式およびその合流方程式を位相的漸化式による「スぺクトル曲線の量子化 (量子曲線)」として実現し, さらにその Voros 係数と位相的漸化式の自由エネルギーの関係を定式化・証明することに成功した. 応用として, Voros 係数の性質を通じて, 自由エネ ルギーを記述する明示的な公式を導くことにも成功した. 結果は２編の論文にまとめ, それぞれ現在投稿中である.
・I 型 Painleve方程式の 2-パラメータ解の構成について.
第 I 型の Painleve 方程式の一般形式解 (2-パラメータ解) を, 位相的漸化式を用いて構成することに成功した. 具体的には, 楕円曲線に対して位相的漸化式 を適用して得られる分配函数を, 周期について離散 Fourier 変換することてで I 型 Painleve 方程式の 2-パラメータ τ -函数を構成した. 応用として, 幾つかの予想を仮定した上で Painleve 方程式に付随する等モノドロミー系の Stokes 係数を明示的に記述することに成功した. これらの結果についてまとめた論文も現在投稿中である.
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