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2016 年度 実施状況報告書

フラクタル格子上の長距離浸透モデルに対するランダムグラフの構造の解明

研究課題

研究課題/領域番号 16K17615
研究機関高知大学

研究代表者

三角 淳  高知大学, 教育研究部自然科学系理学部門, 助教 (70534048)

研究期間 (年度) 2016-04-01 – 2019-03-31
キーワード長距離浸透モデル / フラクタル格子 / ランダムグラフ / ランダムウォーク
研究実績の概要

本研究は、フラクタル格子上の長距離浸透モデルの性質について明らかにすることを目的としている。浸透モデル(パーコレーション)は相転移の確率モデルとして重要かつ基本的な問題であり、例えば正方格子や三角格子の上でのボンドパーコレ-ションなどについては著しく解明が進んでいる。本研究は、フラクタル格子の上で長距離浸透モデルを考えるという独自の着眼点からの問題に対して、研究代表者のこれまでの研究の延長線上で未解決課題の解明をさらに進めていくものである。本年度は、さまざまな形のフラクタル格子の上での長距離浸透モデルに対する、ランダムグラフの直径の評価について研究を行った。基本的なフラクタル格子として知られるpre-Sierpinski gasketの場合に対しては、既に調べられている。今回は、重要なフラクタル格子の一つであるpre-Sierpinski carpetを一般化したグラフとしてgeneralized pre-Sierpinski carpetを構成し、その上で対応する問題を考えた。グラフ上の遠く離れた点同士がランダムな辺で直接つながる確率が、非常に大きい場合、ある程度大きい場合、小さい場合のそれぞれに対して、pre-Sierpinski gasketの場合と同様の手法を適用することにより、ランダムグラフの直径の評価を得ることができた。また、pre-Sierpinski gasket上の長距離浸透モデルにおける、ランダムグラフ上のランダムウォークについても研究を行った。点同士がランダムな辺でつながる確率がある程度大きい場合に対して、ランダムウォークの混合時間の具体的なオーダーに関する研究成果を論文として投稿し、掲載された。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

長距離浸透モデルに対するランダムグラフの直径の評価を、従来の結果と比べてそれなりに幅広いフラクタル格子を含む形で一般化することができた。一方で、generalized pre-Sierpinski carpet以外のフラクタル格子の場合に対する考察など、完成度の点ではもう少し改良の余地もあるように思われる。

今後の研究の推進方策

さまざまな形のフラクタル格子上の長距離浸透モデルに関して、本年度に得られたランダムグラフの直径の評価の改良・発展を行う。また、pre-Sierpinski gasket上の長距離浸透モデルに関して、ランダムな辺でつながる確率が小さい場合を中心に、ランダムグラフやその上のランダムウォークのより詳しい性質について研究を進めていく。

次年度使用額が生じた理由

物品費に関しては、当初の見込みよりも安価で本年度の研究が進められたこと、旅費に関しては、本年度は学内の業務が特に多く、予定より出張の日程を短縮したことなどにより次年度使用額が生じた。

次年度使用額の使用計画

当初の予定額と繰越額をあわせて、次年度の研究を円滑に遂行するために使用する。次年度は、研究集会に参加するための出張を多く計画している。

  • 研究成果

    (4件)

すべて 2017 2016 その他

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件、 謝辞記載あり 1件) 学会発表 (2件) (うち招待講演 1件) 備考 (1件)

  • [雑誌論文] The mixing time of a random walk on a long-range percolation cluster in pre-Sierpinski gasket2016

    • 著者名/発表者名
      J. Misumi
    • 雑誌名

      Journal of Statistical Physics

      巻: 165 ページ: 153-163

    • DOI

      10.1007/s10955-016-1611-z

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [学会発表] フラクタル格子上の長距離浸透モデルとランダムウォーク2017

    • 著者名/発表者名
      三角淳
    • 学会等名
      東京確率論セミナー
    • 発表場所
      東京大学数理科学研究科(東京都目黒区)
    • 年月日
      2017-01-30 – 2017-01-30
  • [学会発表] A remark on the graph diameter for long-range percolation on generalized pre-Sierpinski carpet2016

    • 著者名/発表者名
      三角淳
    • 学会等名
      大規模相互作用系の確率解析
    • 発表場所
      東京大学数理科学研究科(東京都目黒区)
    • 年月日
      2016-11-02 – 2016-11-02
    • 招待講演
  • [備考] 研究代表者のホームページ

    • URL

      http://www.math.kochi-u.ac.jp/misumi/

URL: 

公開日: 2018-01-16  

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