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2018 年度 実施状況報告書

非線形波動方程式における幾何学的対称性と解の特異性の解析

研究課題

研究課題/領域番号 16K17624
研究機関信州大学

研究代表者

岡本 葵  信州大学, 学術研究院工学系, 助教 (40735148)

研究期間 (年度) 2016-04-01 – 2020-03-31
キーワード初期値問題 / 散乱
研究実績の概要

平成30年度の研究では、次の3つの成果を得た。
1つ目は、5階修正コルトヴェーグ・ドフリース型方程式における漸近挙動の解明である。平成29年度に行った短パルス方程式の研究で用いた波束テスト法を5階修正コルトヴェーグ・ドフリース型方程式に適用できるように発展させた。修正コルトヴェーグ・ドフリース方程式では、解の漸近挙動は自己相似解、特に、パンルヴェ方程式の解で与えられることが知られていた。本研究により、5階のモデルでも対応する常微分方程式の解で与えられる自己相似解が漸近形の主要部であることを示した。
2つ目は、消散型波動方程式のL^p-L^q評価式を証明し、その評価式を用いて、臨界な非線形項を持つ非線形方程式の初期値問題の時間大域的可解性が得られることを示した(池田正弘氏、戍亥隆恭氏、若杉勇太氏との共同研究)。本研究では、初期値の遠方での減衰を弱め、対応する線形解の時間減衰が遅い場合について考察した。また、解の存在時間の評価も行った。
3つ目は、非線形項が多項式でないような非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式において、初期値を確率化した初期値問題を考察した。特に、5,6次元においてエネルギー臨界の場合に、エネルギークラスよりも広い初期値でほとんど確実に時間大域的な可解性が得られることを示した(Tadahiro Oh氏、Oana Pocovnicu氏との共同研究)。なお、エネルギー臨界な非線形項では、6次元に比べて5次元での非線形項の次数が高いため、エネルギー評価式において困難が生じ、時間大域的可解性が得られる指数の範囲は5次元のほうが若干狭い。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

5階修正コルトヴェーグ・ドフリース型方程式における漸近挙動の解明、消散型波動方程式のL^p-L^q評価式やその応用、非線形項が多項式でないような非線形項を持つエネルギー臨界非線形シュレディンガー方程式において、初期値を確率化した初期値問題について結果が得られ、おおむね順調に進展している。

今後の研究の推進方策

初期値を確率化した初期値問題で発生する解の特異性は、ノイズの入った方程式とも関連するため、確率微分方程式についても取り組みたい。

  • 研究成果

    (11件)

すべて 2019 2018 その他

すべて 国際共同研究 (1件) 雑誌論文 (3件) (うち国際共著 1件、 査読あり 3件、 オープンアクセス 3件) 学会発表 (7件) (うち国際学会 3件、 招待講演 4件)

  • [国際共同研究] The University of Edinburgh/Heriot-Watt University(英国)

    • 国名
      英国
    • 外国機関名
      The University of Edinburgh/Heriot-Watt University
  • [雑誌論文] L^p-L^q estimates for the damped wave equation and the critical exponent for the nonlinear problem with slowly decaying data2019

    • 著者名/発表者名
      Ikeda Masahiro, Inui Takahisa, Okamoto Mamoru, Wakasugi Yuta
    • 雑誌名

      Communications on Pure & Applied Analysis

      巻: 18 ページ: 1967~2008

    • DOI

      10.3934/cpaa.2019090

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] On the probabilistic well-posedness of the nonlinear Schrodinger equations with non-algebraic nonlinearities2019

    • 著者名/発表者名
      Oh Tadahiro, Okamoto Mamoru, Pocovnicu Oana
    • 雑誌名

      Discrete & Continuous Dynamical Systems - A

      巻: 39 ページ: 3479~3520

    • DOI

      10.3934/dcds.2019144

    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] Long-time behavior of solutions to the fifth-order modified KdV-type equation2018

    • 著者名/発表者名
      Mamoru Okamoto
    • 雑誌名

      Adv. Differential Equations

      巻: 23 ページ: 751~792

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [学会発表] 球対称な初期値に対する非線形シュレディンガー方程式系の適切性について2019

    • 著者名/発表者名
      平山浩之、木下真也、岡本葵
    • 学会等名
      日本数学会年会
  • [学会発表] 空間1次元Dirack-Klein-Gordon方程式系の初期値問題の非適切性2019

    • 著者名/発表者名
      岡本葵、町原秀二
    • 学会等名
      日本数学会年会
  • [学会発表] On the energy critical nonlinear Schrodinger equations with randomized initial data2018

    • 著者名/発表者名
      Mamoru Okamoto
    • 学会等名
      Stochastic partial differential equations and related topics
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Random data Cauchy problem for the energy-critical nonlinear Schrodinger equations2018

    • 著者名/発表者名
      Mamoru Okamoto
    • 学会等名
      The 11th Mathematical Society of Japan Seasonal Institute
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Random data Cauchy problem for the energy-critical nonlinear Schrodinger equations2018

    • 著者名/発表者名
      Mamoru Okamoto
    • 学会等名
      Harmonic Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 空間1 次元Dirac-Klein-Gordon 方程式系の初期値問題の非適切性2018

    • 著者名/発表者名
      岡本葵
    • 学会等名
      One-day workshop on nonlinear dispersive equations in Osaka
    • 招待講演
  • [学会発表] Asymptotic behavior of solutions to a higher-order KdV-type equation with critical nonlinearity2018

    • 著者名/発表者名
      岡本葵
    • 学会等名
      日本数学会秋季総合分科会

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公開日: 2019-12-27  

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