| 研究課題/領域番号 |
16K17625
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| 研究機関 | 愛媛大学 |
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研究代表者 |
若杉 勇太 愛媛大学, 理工学研究科(工学系), 講師 (20771140)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 消散型波動方程式 / 消散型梁方程式 / 時間大域解 / 解の爆発 / 漸近挙動 |
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| 研究実績の概要 |
集約的非線形項をもつ非線形消散型波動方程式の初期値問題に対して，小さな初期値に対する時間大域解の存在・非存在を分けるような非線形項の指数の条件を決定する臨界指数問題について研究を行った．池田正弘氏（理化学研究所），戍亥隆恭氏（大阪大学），岡本葵氏（信州大学）との共同研究により，まず線形解のLp-Lq型評価を考察し，既知の結果で置かれていた指数の制限を取り除き，微分の損失のオーダーを最良なものへと改良した．次にこのLp-Lq型評価を用いて，空間遠方で緩やかに減衰する初期値に対する臨界指数問題を考察した．先行研究で臨界指数の値は予想されていたが，ちょうど臨界の場合に時間大域解が存在するかどうかは未解決であった．本研究では上述のLp-Lq型評価を応用することで，臨界非線形項の場合に，Lebesgue空間の枠組みで遠方で緩やかに減衰する初期値に対し，初期値が十分小さければ初期値問題は一意的な時間大域解をもつことを証明した（国際誌に投稿中）．
また，池田氏，藤原和将氏（早稲田大学）と共同で，連立の非線形微分方程式に対し，連立常微分方程式を用いる手法により解の爆発を示す手法について研究を行い，非線形消散型波動方程式，非線形複素Ginzburg-Landau方程式に対し応用を行った．
また，吉川周二氏（大分大学）と共同で，時間変数に依存する拡散係数をもつ線形の消散型梁方程式に対して，係数が解の長時間挙動へどのような影響を及ぼすかという問題を考察した．まずは拡散項が支配的となる状況を考え，解が時間無限大で熱核を尺度変換した関数へと漸近することを示した．
また，側島基宏氏（東京理科大学）と共同で，空間遠方で増大する係数をもつ線形消散型波動方程式の解の漸近挙動について研究を行った．対応する熱半群の評価と重み付きエネルギー法を用いることで，解が時間無限大で対応する熱方程式の解に漸近することを証明した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
小さな初期値に対する非線形問題については時間大域解・爆発・漸近挙動について一定の成果が得られた．また線形の問題についても，これまで解析がやや困難であった増大する係数の場合にも解の漸近挙動を得ることができた．エネルギー臨界の非線形問題における解挙動については，最近戍亥隆恭氏（大阪大学）によりStrichartz評価と局所適切性の理論が整備され，解析の土台が概ね整ったところである．しかしながら目標とする解挙動の成果はまだ得られておらず，よって総合的にみてやや遅れていると言える．
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| 今後の研究の推進方策 |
まず変数係数をもつ線形の問題について，解の漸近挙動が概ね明らかになったので，次に非線形問題について研究を進める．重み付きエネルギーを用いてどのように非線形評価を行うかが主な問題となる．
次に消散型梁方程式の解挙動については，係数の振る舞いに応じて様々な解挙動が現れることを予想しており，状況ごとに異なる手法が必要とされる．現在吉川氏と共同で4階熱方程式の解に漸近する場合を研究しており，今後さらに波動・梁方程式の解に漸近する場合へ研究を進める．
エネルギー臨界の非線形問題については，現在端点Strichartz評価と無条件一意性について議論を進めているところである．これらの局所理論を整備した後，解挙動の解析を行う．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
次年度使用額（B-A）が僅かな金額であり，前年度で使用する用途がなかったため翌年度に使用する．
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