| 研究課題/領域番号 |
16K17625
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| 研究機関 | 愛媛大学 |
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研究代表者 |
若杉 勇太 愛媛大学, 理工学研究科(工学系), 講師 (20771140)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 消散型波動方程式 / Navier-Stokes方程式 |
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| 研究実績の概要 |
(1) 空間遠方で増大する摩擦項をもつ非線形消散型波動方程式に対し，小さな初期値に対する時間大域解の存在・非存在の境目となる臨界指数を決定する問題を考察した．西原健二氏，側島基宏氏との共同研究のもと，摩擦項の係数の空間遠方増大度と臨界指数の関係を明らかにした．
(2) 時間変数に依存する摩擦項をもつ非線形消散型波動方程式に対し，一般的な係数の条件のもとで解の最大存在時間の上下からの最良な評価を与えた．池田正弘氏，側島基宏氏と共同で，特に摩擦が効果的な場合とoverdampingの場合の境目のケースに対して，摩擦が強くなるに従い最大存在時間も大きくなるという結果を得た（国際誌に投稿中）
(3) 線形消散型波動方程式に対して，Strichartz評価とよばれる解の時空間評価について研究を行なった．戍亥隆恭氏との共同研究で，許容指数対が端点の場合となる端点Strichartz評価を示した．さらに端点Strichartz評価の応用として，エネルギー臨界の非線形項をもつ非線形消散型波動方程式に対して，時間局所解の存在および無条件一意性を示した（国際誌に投稿中）．
(4) 非圧縮Navier-Stokes方程式の初期値問題に対して，Caffarelli-Kohn-Nirebergによるsuitable weak solutionを一般化した弱解に対し，速度場と圧力の空間遠方における適当な仮定のもとで解のエネルギー不等式が成立することを示した（小薗英雄氏，寺澤祐高氏との共同研究）．
(5) 空間２次元の定常Navier-Stokes方程式に対し，速度場の微分のLqノルムの有限性のもとで，渦度の空間遠方挙動の考察を行なった．小薗英雄氏，寺澤祐高氏との共同研究のもと，渦度の空間遠方の減衰とLiouville型定理を得た（国際誌に投稿中）．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
非線形消散型波動方程式の臨界指数問題について，摩擦項が時間・空間変数に依存する場合にそれぞれ，既存の研究よりも一般的な状況のもとて臨界指数と最大存在時間の評価を得ることができた．また，エネルギー臨界の非線形消散型波動方程式に対しては，その解析の基礎となる端点Strichartz評価を示し，非線形問題の適切性についての成果を得た．以上のことから，研究の進捗状況はおおむね順調であるといえる．
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| 今後の研究の推進方策 |
(1) エネルギー臨界の非線形消散型波動方程式に対して，局所適切性の理論が整備できたので，大域的適切性の議論を行なっていく．非線形項が集約的の場合に，基底状態解よりもエネルギーの低い解に対し，基底状態解と初期値のノルムに関する変分的不等式によって解挙動の分類を行う．
(2) 空間変数に依存する摩擦項をもつ線形消散型波動方程式に対し，初期値の空間遠方での減衰度と解のエネルギー減衰率との関係について研究を行う．本研究で新たに開発した超幾何関数を用いた重み付きエネルギー法を用いて，初期値の減衰度に関して最良なエネルギー評価を導く．その応用として，解の時間無限大での漸近挙動として，対応する放物型方程式の解への漸近（拡散現象）を証明する．さらに高階導関数に対する拡散現象および，解の高次漸近展開についても研究を行う．
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