消散構造を持つ非線形波動方程式の解の大域挙動

2020 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 16K17625
• 研究機関: 広島大学
• 研究代表者: 若杉 勇太 広島大学, 先進理工系科学研究科(工), 准教授 (20771140)
• 研究期間 (年度): 2016-04-01 – 2022-03-31
• キーワード: 消散型波動方程式 / 臨界指数 / FLRW計量

研究実績の概要

一様等方な宇宙のモデルである，FLRW(Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker)時空における非線形波動方程式に対し，時間大域解の存在・非存在を分ける非線形性の閾値となる臨界指数を決定する問題について研究を行った．この問題は，一様等方な時空のもとで非線形の波動がどのように振舞うのかを明らかにするために重要な問題である．Euclid空間における非線形波動方程式に対しては，Strauss指数とよばれる指数が臨界指数となることが知られているが，FLRW時空における臨界指数がどのような値になるかは未解決である．Euclid空間の場合は，解表示などを用いた線形解の詳細な挙動を得ることができるが，FLRW時空における問題では，方程式の線形部分に時間変数に依存する係数が現れるため困難が生じる．そこで，本研究ではこの問題に取り組むため，まず解の有限時間爆発の問題について研究を行い，対応する常微分不等式に対する解の爆発を示す一般化された加藤の補題を用いることにより，以下の成果を得た(津田谷公利氏との共同研究).
(1) 解が対応する放物型方程式の解に近い振る舞いをする場合に，臨界および劣臨界の場合の解の有限時間爆発および，最大存在時間の上からの評価を与えた．
(2) 時空が加速膨張する場合を考察し，この場合には臨界指数が現れず，任意の非線形項の指数に対して解の有限時間爆発が起こることを証明した．また，解の最大存在時間の上からの評価を与えた（国際誌に投稿中）．
(3) 微分型の非線形項をもつ場合に，臨界および劣臨界の場合の解の有限時間爆発および，最大存在時間の上からの評価を与えた（国際誌に投稿中）．

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

FLRW計量をもつ非線形波動方程式に対して，放物型に近い場合，加速膨張の場合，微分型の非線形項をもつ場合での解の有限時間爆発の結果を得るなど大きな進展が見られた．よっておおむね順調に進展しているといえる.

今後の研究の推進方策

今後は残された場合である de Sitter 時空における非線形波動方程式に対し，解の有限時間爆発および，最大存在時間の評価を得る問題に取り組む．

次年度使用額が生じた理由

新型コロナウイルス感染拡大の影響により，予定していた研究集会や研究打ち合わせの予定をキャンセルしたことに伴い次年度使用額が生じた.次年度使用額に ついては，前年度で延期とした研究集会への参加および研究打ち合わせに用いる.なお本研究課題について翌年度分として請求した助成金はない.

研究成果

• [国際共同研究] Imam Abdulrahman Bin Faisal University(サウジアラビア)
  • 国名: サウジアラビア
  • 外国機関名: Imam Abdulrahman Bin Faisal University
• [雑誌論文] Classification of asymptotic profiles for the Cauchy problem of damped beam equation with two variable coefficients: Effective damping case (2021)
  • 著者名/発表者名: Yoshikawa Shuji、Wakasugi Yuta
  • 雑誌名: Journal of Differential Equations 巻: 272 ページ: 938～957
  • DOI: 10.1016/j.jde.2020.10.008
  • 査読あり
• [雑誌論文] On heatlike lifespan of solutions of semilinear wave equations in Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker spacetime (2021)
  • 著者名/発表者名: Tsutaya Kimitoshi、Wakasugi Yuta
  • 雑誌名: Journal of Mathematical Analysis and Applications 巻: 500 ページ: 125133～125133
  • DOI: 10.1016/j.jmaa.2021.125133
  • 査読あり
• [雑誌論文] Supersolutions for parabolic equations with unbounded or degenerate diffusion coefficients and their applications to some classes of parabolic and hyperbolic equations (2021)
  • 著者名/発表者名: SOBAJIMA Motohiro、WAKASUGI Yuta
  • 雑誌名: Journal of the Mathematical Society of Japan 巻: 1 ページ: 1-38
  • DOI: 10.2969/jmsj/83928392
  • 査読あり
• [雑誌論文] Lifespan of Solutions for a Weakly Coupled System of Semilinear Heat Equations (2020)
  • 著者名/発表者名: FUJIWARA Kazumasa、IKEDA Masahiro、WAKASUGI Yuta
  • 雑誌名: Tokyo Journal of Mathematics 巻: 43 ページ: 163-180
  • DOI: 10.3836/tjm/1502179300
  • 査読あり
• [雑誌論文] Blow up of solutions of semilinear wave equations in Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker spacetime (2020)
  • 著者名/発表者名: Tsutaya Kimitoshi、Wakasugi Yuta
  • 雑誌名: Journal of Mathematical Physics 巻: 61 ページ: 091503～091503
  • DOI: 10.1063/1.5139301
  • 査読あり
• [学会発表] Weighted energy estimates for solutions to the wave equation with space-dependent damping (2021)
  • 著者名/発表者名: 若杉勇太
  • 学会等名: 第36回松山キャンプ
• [学会発表] On heatlike lifespan of solutions of semilinear wave equations in Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker spacetime (2021)
  • 著者名/発表者名: 若杉勇太
  • 学会等名: 日本数学会2021年度年会
• [学会発表] Asymptotic behavior of solutions to elliptic equations with unbounded coefficients of the second order in unbounded domains (2021)
  • 著者名/発表者名: 若杉勇太
  • 学会等名: 日本数学会2021年度年会
• [学会発表] Asymptotic properties of steady solutions to the 3D axisymmetric Navier-Stokes equations with no swirl (2021)
  • 著者名/発表者名: 若杉勇太
  • 学会等名: 日本数学会2021年度年会
• [学会発表] Blow-up of solutions of semilinear wave equations in Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker spacetime (2020)
  • 著者名/発表者名: Yuta Wakasugi
  • 学会等名: Webinar on Evolution Models, Critical exponent versus blow-up in evolution models
  • 国際学会 / 招待講演
• [備考] wakasugiyuta
  • URL: https://sites.google.com/site/wakasugiyuta/home