| 研究課題/領域番号 |
16K17626
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
岸本 展 京都大学, 数理解析研究所, 講師 (90610072)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 非線形分散型方程式 / 初期値問題 / 周期境界条件 / 非適切性 / ジュブレクラス / 非圧縮性オイラー方程式 |
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| 研究実績の概要 |
本研究では，非線形分散型方程式や関連する方程式について，非線形相互作用（特に共鳴相互作用）の精密な解析を通して解の性質を調べることを主たる目的としている．平成30年度は主として下記の成果が得られた．
１．前年度に続きシュレディンガー方程式に高次の分散項と非線形項を付加した方程式の性質を研究した．この方程式はラマン散乱項と呼ばれる特徴的な非線形項の係数が虚部を持つかどうかによって性質を大きく変える．本年度はまず，虚部を持たない場合に非周期的な初期値問題に対して示されていた一様適切性および解の収束（平成28年度の成果）を，周期境界値問題の場合にも自然な仮定の下で示すことに成功した．続いて，係数が虚部を持つ場合に周期境界条件下で示されていたソボレフ空間における解の非存在（平成29年度の成果）が，より性質の良いジュブレクラスでも起こり得ることを示した（堤氏（京都大学）との共同研究）．ジュブレクラスの枠組みで否定的な結果を示すことは有限回の微分可能性に対応するソボレフ空間の場合と比べて格段に難しい．本研究ではジュブレクラスを特徴づけるフーリエ係数の減衰度についての評価を工夫することで困難を克服しており，その手法はプラントル境界層方程式など，特定のジュブレクラスでの非適切性が予想されているより複雑かつ重要な方程式への応用が期待される．
２．分散型方程式ではないが関連する結果として，非圧縮性オイラー方程式の周期境界条件下での周波数間相互作用を解析し，その応用として3次元の場合に有限個の周波数モードしか持たない解の完全な特徴づけを与えることに成功した（米田氏（東京大学）との共同研究）．本成果自体，乱流理論との関連が期待されるなど大変興味深いものであるが，本研究を通して周波数間相互作用を幾何学的に捉える事の有効性を再認識するとともに，分散型方程式研究へも応用しうる多くの新たな知見が得られた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度は，現在までの非線形分散型方程式に関する研究で培われた周波数間相互作用の解析のノウハウをもとに，さらなる幾何学的洞察を加えることで流体方程式についての画期的な成果を得ることができた．また，ジュブレクラスの枠組みで平滑化評価を導くためのアイデアも分散型方程式にとどまらず幅広い応用が期待されるものである．このように，当該研究課題に関する研究を進める中で当初の計画では予期していなかった多方面にわたる成果が得られている．
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| 今後の研究の推進方策 |
研究課題である分散型方程式については，前年度に引き続き比較的簡単な構造をもった方程式の研究を通して共鳴および非共鳴の双方の相互作用の解析に習熟してきてはいるものの，交付申請書に記載した，ベンジャミン・オノ方程式のエネルギー空間における解の無条件一意性，あるいはL2空間における2次元トーラス上の3次非線形シュレディンガー方程式の適切性といった，より困難な問題に手を付けるには至っていない．最終年度は，流体方程式等の関連する問題についても研究を続けるとともに，それによって得られた新たな技術や洞察を総動員し，今一度原点にかえってこれらの問題に対する糸口を掴みたい．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
年度末の海外出張において助成金の使用を予定していた現地滞在費が先方負担となったため，次年度使用額が生じた．当該研究のための海外渡航費もしくは研究者招へい旅費として活用する．
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