| 研究課題/領域番号 |
16K17626
|
|---|
| 研究機関 | 京都大学 |
|---|
研究代表者 |
岸本 展 京都大学, 数理解析研究所, 講師 (90610072)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2023-03-31
|
| キーワード | 非圧縮性ナヴィエ・ストークス方程式 / ベルトラミ流 / 一般化KdV方程式 / 不変測度 |
|---|
| 研究実績の概要 |
本研究では分散型方程式を中心に，非線形相互作用，とりわけ共鳴相互作用が解の性質にもたらす影響を調べてきた．本年（2021年）度は主として，本研究課題でこれまでに得た成果を拡張する次の2つの研究を行った．
１．2018年度の研究成果として，3次元ユークリッド空間における非圧縮性オイラー方程式の有限モード解の完全な特徴づけを与えたが，これを粘性および回転の効果を取り入れたナヴィエ・ストークス・コリオリ方程式へと一般化し，これらのより複雑な状況においても「有限個の周波数モードしか持たない解は，ベルトラミ流など非線形相互作用のない流れに限られる」という事実が同様に成り立つことを示した（米田氏（一橋大学）との共同研究）．この結果は粘性，回転の一方のみを取り入れた方程式を特別な場合として含むだけでなく，粘性効果が分数階ラプラス作用素で与えられる場合にも対応しており，応用の観点から重要な一般化である．
２．前年（2020年）度の一般化コルトヴェーグ・ドフリース（gKdV）方程式に関する研究（Chapouto氏（現・カリフォルニア大学ロサンゼルス校）との共同研究）を継続し，ギブス測度の台上での力学系（時間大域解）の構成とギブス測度の不変性に関して，これまで課していた解の空間平均が零であるという条件を撤廃するとともに，有限時間爆発解に関連する臨界質量を持つ初期値に対しても殆ど確実な時間大域存在を示した．前者の問題は時間局所解の構成における条件の撤廃に帰着され，平均を引いた解を考えることで平均零の場合の手法を応用することができた．後者については，平行移動変換により共鳴相互作用の一部を除いた方程式に対して成り立つことが先行研究で指摘されており，これが元の方程式でも正しいことを確かめた．これにより前年度の研究成果がより完全なものとなり，gKdV方程式のギブス測度に関する研究はひとつの区切りを迎えたといえる．
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度得られた成果は，これまでの結果において仮定されていた不自然な条件を撤廃し，あるいは限られた状況において示されていた事実を応用上重要となる幅広い枠組みで一般化するもので，前年度までの研究をさらに深化させることによりこのような意義深い成果をあげることができた．
一方，2019年度の研究業績として報告した微分型非線形シュレディンガー方程式に関する成果について，本年度はその内容を含む論文の学術雑誌への採録が決定し，さらに関連する4件の招待講演を行った．この問題に関するその後の研究は別研究課題（基盤研究(C)20K03678）にて継続中のため本研究課題の研究実績としては報告していないが，本研究課題において培われた共鳴相互作用解析の技術が存分に発揮されている．
|
| 今後の研究の推進方策 |
研究課題開始当初からの目標の一つであった，3次の非線形相互作用を持つ修正ベンジャミン・オノ方程式のエネルギー空間における解の一意性の証明に改めて挑戦する予定である．これまでの研究で，適切なゲージ変換（解の非線形変換）とノーマルフォーム変換（時間変数に関する部分積分を用いた方程式の変形）の適用により，エネルギー空間より僅かに狭いクラスでの一意性が示されていたが，エネルギー空間においてはゲージ変換後の方程式の非線形項の意味付けを一般の解に対して行う際に困難が生じていた．一方，非線形性が2次である通常のベンジャミン・オノ方程式に対する最近の研究で，広いクラスでの解の一意性を示すために，分散性の帰結として現れる解の評価式を短い時間に区切って適用し足し合わせる手法が用いられた．この方法は上述した解の意味付けの問題を解決するのに有効であると考えられる．それ以外にも，非線形性の評価において度々直面する臨界の状況特有の対数的発散を克服する必要があり，これまでの研究で習得した技術を総動員して，相互作用を起こす周波数の大きさに応じた共鳴構造の精密な解析を行うことにより解決を試みる．
|
| 次年度使用額が生じた理由 |
前年度に引き続き，コロナ禍における集会の中止・オンライン化が年度末まで続いたため国内・国外出張旅費として助成金を活用することができず，次年度使用額が生じた．
引き続き，研究課題の進捗に応じて必要となる専門図書の購入費用や，共同研究のための出張・研究者招へい費用に充てる計画である．
|
| 備考 |
研究実績１．の成果を纏めた論文（学術雑誌へ投稿中）をウェブ上で公開している（2021年10月～，https://arxiv.org/abs/2110.08039）．
|
