| 研究課題/領域番号 |
16K17629
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| 研究機関 | 龍谷大学 |
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研究代表者 |
川上 竜樹 龍谷大学, 理工学部, 准教授 (20546147)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 動的境界条件 / 退化拡散方程式 / 分数冪拡散方程式 / 時間大域可解性 / 臨界指数 |
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| 研究実績の概要 |
本年度は動的境界条件を有する熱方程式の解の構築ならびに拡散極限としての解の収束性の研究、また動的境界条件に付随する分数冪拡散方程式と関連の深い退化拡散方程式の大域可解性に関する研究、さらに逆２乗冪のポテンシャルを有する半線型熱方程式の大域可解性に関する研究を行なった。
まず、動的境界条件を有する熱方程式については共同研究者である東京大学石毛和弘氏とComenius大学の Marek Fila 氏とともに２次元以上の半空間において時間大域解を構成するとともに、熱方程式の拡散極限として、本問題の解が動的境界条件を有するLaplace方程式の解に収束することを示した。また、Comenius大学の Johannes Lankeit 氏も加えて、上記で得られた収束の速さが最適であること、さらに３次元における単位球の外部領域でも同様の結果が得られることを示した。
次に退化する係数を有する非線形拡散方程式については静岡大学の藤嶋陽平氏とJohns Hopkins 大学の Yannick Sire 氏とともに昨年投稿した論文について、基本解の評価に関する問題点を改善し、大域可解性に関する臨界指数を導出し、方程式に付随した不変量に関して十分小さな初期値に対して時間大域解を構成した。
最後に逆２乗冪のポテンシャルを有する半線型熱方程式の大域可解性について、石毛氏と共に、これまでの得られていた既存の結果を全て包含する形での臨界指数の導出を行なった。
これら３件については既に論文として国際雑誌に掲載が確定している。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度は昨年度の推進方策の一つとして挙げていた動的境界条件を有する熱方程式について、２次元以上の半空間および３次元における単位球の外部領域に対して時間大域解を構成できたこと、さらにその拡散極限についても研究成果を得られた点は充分評価できる。また、昨年度から継続して行なっていた国際共同研究を完成させることができた点、さらに逆２次のポテンシャルを有する半線型熱方程式についてはこれまでの結果を包括する結果を得られた点からも、当初の計画以上に進展していると言える。
一方で、昨年度の推進方策に挙げていた指数型非線形項を内部に持つ動的境界条件または非線形境界条件については一定の成果は得ているものの、現在も継続的に研究を行なっており、次年度以降の発表を目指している。
以上の点から、進捗状況としてはおおむね順調に進展していると言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
まずは一昨年度からの継続研究として指数型非線形項を内部にもつ動的境界条件または非線形境界条件の可解性について考察したい。それら２つの問題の関係性と可解性に関する臨界条件の導出を目標として研究を進めていきたい。
次に、３次元以外の単位球の外部領域における動的境界条件を有する熱方程式の可解性について考察したい。この研究を通して本問題の基本解の構築を目指し、非線形問題への足掛かりを作ることを目的として研究を進める。これはこれまでの研究の継続研究にあたるため、石毛氏、Fila氏、Lankeit氏と共同で研究を進めていく。
最後に退化する係数を有する半線型熱方程式の爆発問題について考察していく。これは分数冪拡散方程式および動的境界条件と密接に関わるものであり、今後の研究に対して重要な指針を与えるものであると強く確信している。これはこれまでの藤嶋氏、Sire氏との研究の継続研究にあたるため、本研究についても共同で進めていく。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本年度は昨年度からの検討事項であった計算機の購入を年度末に想定していたが、本研究の派生研究に関して、大幅な進展があり、研究連絡を行う必要が生じたこと、また国際研究集会の開催に関して、当初予定を上回る支出があった。そのため、計算機の購入を断念したため、差額が生じた。
次年度については計算機の購入を再度検討するが、既に研究連絡のために複数名の研究者の招聘を予定していること、また、成果発表のための渡航予定が入っていること等を念頭におきながら慎重に検討していく。
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