| 研究課題/領域番号 |
16K17637
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
瀬川 悦生 東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (30634547)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 量子ウォーク / 単体複体 / 極限分布 / 円分多項式 |
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| 研究実績の概要 |
グラフ上の量子ウォークのスペクトル解析において、グラフのサイクルによって誘導される固有空間が存在する。この性質をより深く理解するために、単体複体上の量子ウォークの構成を提案した。数値実験も行い、二次元平面の三角形分割を行った時に、グラフ上の量子ウォークが再現される一単体をベースにした量子ウォークでは、楕円をサポートに持つ分布が描かれるのに対し、二単体をベースにした場合は六芒星をサポートとするような分布が描かれる奇妙な性質が観察された。さらに興味深い観察として(i)キャビティーのような高次のサイクルやトポロジカルなサイクルに対して局在状態として反応を示す (ii)単体の向きに例えばメイビウス帯などを通じて影響を強く受けることがわかった。
次に量子ウォークの挙動を理解するための基礎となるスペクトル解析を考察した。特に元のグラフの頂点をベースに展開されるセルオートマトンによって記述できるクラスにおいて、そのスペクトルの遺伝のメカニズムをジョルダン標準形を用いることで、従来得られていた結果の別証明を与えた。これは単体複体上の量子ウォークの固有値解析に役に立つことが期待されている。
量子ウォークは局在化、線型的拡がりといった性質をもつことが知られているが、それ以外にも新たにn乗すると単位行列になるような周期性をもつ特異な性質をもつときがある。その特徴づけを円分多項式を用いて行った。
最後に量子ウォークの実用上の応用として、レーザー照射による放射性廃棄物同位体分離のアイディアを、量子ウォークを介して直交多項式の問題への写像を行い、励起される側の回転エネルギの極限分布を導出した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
単体複体上の量子ウォークを(i)時間発展がユニタリ(ii)高次元の波の非自明な反射と透過のダイナミクスを記述している (iii)通常のSzegedy walkに見られる頂点上のRWから有向辺上のQWへの固有値写像の自然な拡張となるように構成し、幾つかの幾何的な特徴を反映するような性質を数値的に示唆した。このことを論文にしてまとめ、国際誌に受理された。これ以外の新たな構成方法などが、応用数学の研究集会に参加して情報を収集して、いくつか提案されており、何人かのグラフの専門家と議論し、貴重なコメントを得る機会もあり、共同研究の方向へ向かいつつある。またグラフの変形を通じて、量子情報の視点から提案された量子ウォーク模型と、従来の量子ウォーク模型との同型性を証明できた。また、数学のみならず量子光学、物性物理など他分野の研究者から研究の情報を収集し、彼らとの共同研究の形で国際誌に投稿し受理された。
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| 今後の研究の推進方策 |
新たな単体複体上の量子ウォークの構成方法が既に共同研究者との間で提案されている。これらの良し悪しを比較検討しながら、進めていく。この試みは実例がなく、多くの数値的あるいは試行的実験が必要とされるため、できるだけ多くのデータをもとに、その傍証を読み取る。特に従来の研究で展開されている単体の向きの概念を、構成の中により直接的に取り入れたアイディアが、リーズナブルな第一候補としてあがっている。そこで、今年度は位相的グラフ理論の専門家にも相談し“意味のあるもの”としてどのような立ち位置にあるのかを深く検討し、この量子ウォークから誘導されるようなできれば今まであまり着目されてこなかったような幾何的な特徴の抽出を試みたい。その中で、量子情報の分野で盛んに議論されている量子探索を成功させるような幾何的な構造を逆問題的に考察していくことを念頭において行う。
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