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2017 年度 実施状況報告書

量子ウォークから誘導される空間構造の解析

研究課題

研究課題/領域番号 16K17637
研究機関東北大学

研究代表者

瀬川 悦生  東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (30634547)

研究期間 (年度) 2016-04-01 – 2019-03-31
キーワード量子ウォーク / 単体的複体 / 組み合わせ的フロー / 結晶格子
研究実績の概要

単体的複体上の量子ウォークを新たに導入し、与えられた単体複体から誘導されるあるグラフ上の量子ウォークとユニタリ同値になることを示した。具体例として、n次元球面上の量子探索を行い、所謂古典アルゴリズムに比べ、グラフ上のとき同様、二乗のオーダーで探索が成功することを証明した。
グラフの縁に対する量子ウォークの感受性について、トポロジカル相と関係する二次元格子をx=0で切断した時の量子ウォークモデルを用いて検証した。するとエッジ状態を表すスペクトルが、量子ウォークのグラフの切れ目周辺の挙動に及ぼす影響を完全に分類することができた。
Grover walkの局在化とグラフの幾何との対応を導出した。特に、グラフの有限な組合わせ的フローが存在することと、量子ウォークのランダムウォークからは遺伝しない発生の固有空間が存在することの同値性を示した。また線形的拡がり関しては、結晶格子上のGrover walkの極限分布について議論し、十分に時間が経過したときの、量子ウォーカーのスケーリングされた位置を、波数でパラメータ表示させる公式を導いた。
その一方で、量子力学と量子ウォークとの対応についても議論した。その一例として、実軸上の二重ポテンシャルの、シュレディンガー方程式に従う平面波の透過性とこのダイナミクスを模倣する量子ウォークモデルを与えることによって考察した。特に、ある条件下ではこの量子ウォークの定常状態と、このシュレディンガー方程式の定常解が同値になることを証明した。
これまで多くの提案されてきた量子ウォークモデルの構成方法の俯瞰的な描像について議論した。特にグラフの幾つかの変形操作を介することで、様々な量子ウォークモデルのユニタリ同値性の証明をした。このことによって、これまでの量子ウォークに関する結果の関係性を効率的に議論、新たな量子ウォーク模型の提案を容易にすることが可能になった。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

以前の単体的複体上の量子ウォークにおいては、ヒルベルト空間の次元が単体的複体の次元が大きくなると、急速に増大する欠点があった。それを改善するため、新たな単体的複体の構成法の提案に成功した。それによって、量子探索などの数値計算に頼らない解析的な結果を導出することが可能になり、解析な基礎を構築した。ここで行われた手法により一般的な単体的複体上の量子ウォークによる量子探索アルゴリズムの解析にも応用の可能性が高く、より一般的な議論の展開が期待できる。また、グラフの縁に対する量子ウォークの解析では、単位円周上の直交多項式の伝統的な固有値解析の手法を応用しており、この手法が、今後の量子ウォークを通したトポロジカル相の理解をより深く追求するのに役立つことが期待できる。
また、組み合わせ的フローの存在と発生の固有空間の存在の同値性が示されたことによって、グローヴァーウォークの挙動からグラフの幾何が抽出できた成功例になった。この解析方法はグローヴァーウォーク以外に対しても拡張可能で、別の幾何が抽出できることが期待される。波数を動かしたときに、多く通る場所ほど、高確率でその場所にいやすい。一方で、スケーリングされた結晶格子の量子ウォーカーの位置の波数パラメータ表示を与える公式から、極限分布をみることによって、結晶格子のどのような幾何構造を線形的な拡がりから抽出されてうるかを解決する手がかりとなることが期待される。
量子力学と量子ウォークとの対応についても議論に関しては、シュレディンガー方程式との親和性を示唆した結果になった。メトリックグラフ上のシュレディンガー方程式系を与える所謂量子グラフとの対応関係について、より一般的なグラフに議論を展開し、低定常状態への収束条件とグラフの幾何構造との関係性などの議論が期待できる。

今後の研究の推進方策

単体的複体上の量子ウォークに関しては、未だ幾つかの具体例による状況証拠的な累積に過ぎない状況であるが、今後は何かしらの位相的な描像を量子ウォークから抽出できるよなモデルの提案と、結果の蓄積を行う。同時に網羅的な議論が展開できるよう、去年度にもまして、位相的グラフ理論の専門家のアドバイスを仰ぎ、協力体制を強化する。また、二重ポテンシャル付きの一次元平面波の散乱とグラフ上の量子ウォークの結果に対して、高次元化された単体的複体的量子ウォークにおいては対応するシュレディンガー方程式が構成されるのか、もしあればどのように変形されていくのかも行い研究を推進させる。
グローヴァーウォークの局在化とグラフの幾何が結びついたが、グローヴァーウォークは量子ウォークの特殊なモデルに過ぎない。そこでより広いクラスの量子ウォークを考えそのスペクトル写像定理を与える。そのときに現れる局在化の要因とグラフの幾何との関係を通じて、量子ウォークの分類を行う。また、線形的拡がりについては、引き続き結晶格子の場合で考察を続ける。スケーリングされた結晶格子上の量子ウォーカーの位置を波数パラメータ表示することで、波数を動かしたときに、量子ウォーカーが多く通る場所ほど、高確率でその場所にいやすい。したがってその密度がまさに極限密度関数そのものになっている。典型的な結晶格子である三角格子、六角格子、カゴメ格子の極限分布のサポートが傾いた楕円で記述されることを導出したが、この傾きは、結晶格子の埋め込みの実現を反映するものである。そこでグラフの幾何の抽出を行うにはその中身について考察する必要がある。数値計算によると、三角格子においては、この楕円中に描かれるある双曲三角形周辺に高確率で存在することが示唆されている。この興味深い現象の裏側に潜むある種の幾何的な描像を今後詳細に検証していく。

  • 研究成果

    (29件)

すべて 2018 2017 その他

すべて 国際共同研究 (3件) 雑誌論文 (7件) (うち国際共著 3件、 査読あり 6件) 学会発表 (18件) (うち国際学会 4件、 招待講演 8件) 学会・シンポジウム開催 (1件)

  • [国際共同研究] Hankyong National University/University College, Yonsei University,(韓国)

    • 国名
      韓国
    • 外国機関名
      Hankyong National University/University College, Yonsei University,
  • [国際共同研究] LNCC, Brazil(ブラジル)

    • 国名
      ブラジル
    • 外国機関名
      LNCC, Brazil
  • [国際共同研究] Tamkang University(台湾)

    • 国名
      その他の国・地域
    • 外国機関名
      Tamkang University
  • [雑誌論文] Scattering and inverse scattering for nonlinear quantum walks2018

    • 著者名/発表者名
      Maeda Masaya、Sasaki Hironobu、Segawa Etsuo、Suzuki Akito、Suzuki Kanako
    • 雑誌名

      Discrete & Continuous Dynamical Systems - A

      巻: 38 ページ: 3687~3703

    • DOI

      doi: 10.3934/dcds.2018159

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Partition-based discrete-time quantum walks2018

    • 著者名/発表者名
      Konno Norio、Portugal Renato、Sato Iwao、Segawa Etsuo
    • 雑誌名

      Quantum Information Processing

      巻: 17 ページ: 100

    • DOI

      https://doi.org/10.1007/s11128-017-1807-4

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Resonant-tunneling in discrete-time quantum walk2018

    • 著者名/発表者名
      Matsue Kaname、Matsuoka Leo、Ogurisu Osamu、Segawa Etsuo
    • 雑誌名

      Quantum Studies: Mathematics and Foundations

      巻: 6 ページ: 35~44

    • DOI

      https://doi.org/10.1007/s40509-017-0151-9

    • 査読あり
  • [雑誌論文] How does Grover walk recognize the shape of crystal lattice?2018

    • 著者名/発表者名
      Chul Ki Ko, Norio Konno, Etsuo Segawa, Hyun Jae Yoo
    • 雑誌名

      Quantum Information Processing

      巻: 印刷中 ページ: 印刷中

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] A spectral analysis of discrete-time quantum walks with related to birth and death chain2018

    • 著者名/発表者名
      Choon-Lin Ho, Yusuke Ide, Norio Konno, Etsuo Segawa, Kentaro Takumi
    • 雑誌名

      Journal of Statistical Physics

      巻: 171 ページ: 207-219

    • DOI

      10.1007/s10955-018-1998-9

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Asymptotic behavior of a rotational population distribution in a molecular quantum-kicked rotor with ideal quantum resonance2017

    • 著者名/発表者名
      L. Matsuoka, E. Segawa, K. Yuki, N. Konno, N. Obata
    • 雑誌名

      Physics Letter A

      巻: 381 ページ: 1773-1779

    • DOI

      10.1016/j.physleta.2017.03.032

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] The spreading behavior of quantum walks induced by drifted random walks on some magnifier graph2017

    • 著者名/発表者名
      Yu. Higuchi and E. Segawa
    • 雑誌名

      Quantum Information and Computation

      巻: 17 ページ: 0399-0414

    • DOI

      10.26421/QIC17.5-6

  • [学会発表] A structure theorem of positive support of Grover walk on graphs with a large girth2018

    • 著者名/発表者名
      N. Konno, I. Sato and E. Segawa
    • 学会等名
      7th Quantum Simulation and Quantum Walks
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] ある無限グラフ上のGrover walk の有界な定常状態の導出に対する試み2018

    • 著者名/発表者名
      樋口雄介, Mohamedo Sabri, 瀬川悦生, 吉江佑介
    • 学会等名
      新潟確率論ワークショップ
  • [学会発表] Grover walkの n 乗の正台と固有値について2018

    • 著者名/発表者名
      今野紀雄, 佐藤巖, 瀬川悦生
    • 学会等名
      量子論にまつわる数学と数論の連携探索2018
    • 招待講演
  • [学会発表] 量子ウォークから誘導されるグラフの組合せ構造2018

    • 著者名/発表者名
      瀬川悦生
    • 学会等名
      軽井沢グラフと解析研究集会
  • [学会発表] Partition based quantum walk2017

    • 著者名/発表者名
      今野紀雄, R. Portugal, 佐藤巌, 瀬川悦生
    • 学会等名
      日本数学会 2017秋季統合分科会
  • [学会発表] k-partition based walkのユニタリ同値性2017

    • 著者名/発表者名
      今野紀雄, 小関健太, 佐藤巖, 瀬川悦生
    • 学会等名
      2017年度応用数学合同研究集会
  • [学会発表] A new construction of quantum walks based on a graph theoretical approach2017

    • 著者名/発表者名
      E. Segawa
    • 学会等名
      International Conference on Research and Education 2017
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] A construction of quantum walks and its spectral analysis2017

    • 著者名/発表者名
      E. Segawa
    • 学会等名
      RIMS研究集会 Mathematical Aspects of Quantum Fields and Related Topics
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Variety of expressions of discrete-time quantum walks2017

    • 著者名/発表者名
      E. Segawa
    • 学会等名
      ICCM 2017, Special Session on Quantum Computation and Quantum Information
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 量子ウォーク数理の量子レーザー制御工学との連携2017

    • 著者名/発表者名
      瀬川悦生
    • 学会等名
      数学と諸分野の連携と通した知の創造
    • 招待講演
  • [学会発表] 量子ウォークの位相の挙動について2017

    • 著者名/発表者名
      今野紀雄, 佐藤巌, 瀬川悦生
    • 学会等名
      松山スペクトル・散乱セミナー
  • [学会発表] 内周の大きなグラフ上のGrover walkの正台の構造定理2017

    • 著者名/発表者名
      今野紀雄, 佐藤巌, 瀬川悦生
    • 学会等名
      第29回位相幾何学的グラフ理論研究集会
  • [学会発表] n 乗Grover walk の正台から誘導される量子セルオートマトン2017

    • 著者名/発表者名
      今野紀雄, 佐藤巌, 瀬川悦生
    • 学会等名
      第2回グラフゼータと量子ウォークの諸相
  • [学会発表] Edge state of a quantum walk2017

    • 著者名/発表者名
      瀬川悦生
    • 学会等名
      若手研究集会「波動・振動・流れの制御と逆問題-理論と数値計算」
    • 招待講演
  • [学会発表] 単体複体上の量子探索2017

    • 著者名/発表者名
      瀬川悦生
    • 学会等名
      水戸数学情報数理研究会
  • [学会発表] 単体複体上の量子ウォークによる量子探索2017

    • 著者名/発表者名
      瀬川悦生
    • 学会等名
      近畿大学数学教室講演会
    • 招待講演
  • [学会発表] 量子ウォークによる単体複体上の量子探索の提案2017

    • 著者名/発表者名
      小栗栖修, 瀬川悦生, 松江要
    • 学会等名
      ワークショップ「ドレスト光子・光合成・量子ウォーク」
  • [学会発表] Grover walk の正台のジョルダン分解について2017

    • 著者名/発表者名
      瀬川悦生
    • 学会等名
      第34回代数的組合せ論シンポジウム
  • [学会・シンポジウム開催] Quantum walks and dynamics on networks2018

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公開日: 2018-12-17   更新日: 2022-02-22  

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