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2017 年度 実施状況報告書

ハングリー型離散・超離散可積分系の固有値問題への応用

研究課題

研究課題/領域番号 16K21368
研究機関芝浦工業大学

研究代表者

福田 亜希子  芝浦工業大学, システム理工学部, 准教授 (70609297)

研究期間 (年度) 2016-04-01 – 2019-03-31
キーワードMax-Plus代数 / 超離散化 / トロピカル代数 / 可積分系 / 固有値 / Min-Plus代数 / 超離散戸田方程式 / 有向グラフ
研究実績の概要

連続時間および離散時間可積分系がもつ著しい性質に由来する固有値計算等の優れた数値計算アルゴリズム:「可積分アルゴリズム」がこれまでに数多く報告されている。本研究では,超離散可積分系の数理構造に着目した新たな固有値計算アルゴリズムの導出を試みた。

qd法の漸化式は離散戸田方程式と一致することが知られており,それを超離散化することで箱玉系の運動方程式に対応する超離散戸田方程式が得られる。本研究ではまず,超離散戸田方程式に関連するMin-Plus代数上の3重対角行列に着目し,トロピカル行列式を用いたMin-Plus代数上の固有多項式の根と超離散戸田方程式の変数との対応を明らかにした。また,3重対角行列を隣接行列とする重み付き有向グラフにおける平均閉路重みと固有多項式の根の関係についても明らかにした。さらに,超離散戸田方程式の解の挙動を調べることで,超離散戸田方程式の時間発展が,Min-Plus代数上の3重対角行列の固有値を計算していることが明らかとなった。このことは,グラフの観点からは,有向グラフにおける最小平均閉路重みを求めていることに対応する。

一方,超離散ロトカ・ボルテラ系に対応するMin-Plus代数上の固有値計算アルゴリズムについても検討し,対称な3重対角行列を対象とする固有値計算アルゴリズムが得られた。付随して,超離散戸田方程式,超離散qd型ロトカ・ボルテラ系,超離散ロトカ・ボルテラ系を結ぶ変数変換が得られ,超離散qd型ロトカ・ボルテラ系が,従来知られていた箱玉系のラグランジュ表現に対する別表現を与えることを示した。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

2017年度に計画していた研究は2016年度に一部前倒して実施したため,2017年度は2018年度に計画していた研究を一部前倒して実施したが,研究実績の概要に記載した通り,当初計画していた成果が得られているため,おおむね順調に進展していると判断する。現在,得られた成果に関する論文1編を投稿中である。

今後の研究の推進方策

上記の「研究実績の概要」の成果について,現在投稿中の1編に加えて,もう1編の論文の執筆を予定している。また,上記の成果は最も単純な場合を扱っているので,それぞれの拡張(ハングリー版)を検討することで,より汎用的なアルゴリズムとなることが期待される。

次年度使用額が生じた理由

研究成果発表のための海外出張(SIAM ALA2018@香港,他1件)および国内での学会のための旅費・参加費などに使用する予定である。

  • 研究成果

    (6件)

すべて 2017

すべて 雑誌論文 (2件) (うち査読あり 2件) 学会発表 (4件) (うち国際学会 1件)

  • [雑誌論文] Monotonic convergence to eigenvalues of totally nonnegative matrices in an integrable variant of the discrete Lotka-Volterra system2017

    • 著者名/発表者名
      Tobita Akihiko, Akiko Fukuda, Emiko Ishiwata, Masashi Iwasaki, Yoshimasa Nakamura
    • 雑誌名

      Lecture Notes in Computational Science and Engineering

      巻: 117 ページ: 157--169

    • DOI

      10.1007/978-3-319-62426-6_11

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Computation of eigenvectors for a specially structured banded matrix2017

    • 著者名/発表者名
      Hiroshi Takeuchi, Kensuke Aihara, Akiko Fukuda, Emiko Ishiwata
    • 雑誌名

      Lecture Notes in Computational Science and Engineering

      巻: 117 ページ: 143--155

    • DOI

      10.1007/978-3-319-62426-6_10

    • 査読あり
  • [学会発表] Integrable eigenvalue algorithms for totally nonnegative matrices2017

    • 著者名/発表者名
      Akiko Fukuda
    • 学会等名
      International Conference on Matrix Analysis and its Applications
    • 国際学会
  • [学会発表] 超離散戸田方程式に基づくMin-Plus行列の固有値計算2017

    • 著者名/発表者名
      渡邉 扇之介, 福田 亜希子, 鴫谷 瞳, 岩崎 雅史
    • 学会等名
      日本応用数理学会 2017年度 年会
  • [学会発表] 超離散戸田方程式に付随するMin-Plus 行列の固有多項式の根とグラフの閉路2017

    • 著者名/発表者名
      渡邉 扇之介, 福田 亜希子
    • 学会等名
      2017年度応用数学合同研究集会
  • [学会発表] トロピカル3重対角行列の固有値を計算する超離散ロトカ・ボルテラ系2017

    • 著者名/発表者名
      福田 亜希子, 渡邉 扇之介, 花岡 歩, 岩崎 雅史
    • 学会等名
      日本応用数理学会2018年研究部会連合発表会

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公開日: 2018-12-17  

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