| 研究実績の概要 |
量子乱流とは, ボース・アインシュタイン凝縮や超流動のような量子流体で実現する乱流状態であり, 量子化された循環を持つ量子渦の複雑な運動によって構成されるものである. 古典流体では, 渦の定義が曖昧であり, 乱流と渦の間に厳密な関係を与えることは不可能である. 一方で, 量子流体のモデル方程式であるグロス・ピタエフスキー方程式では渦を厳密に定義することができ, 乱流を渦の視点から理解できる. したがって, 本研究ではグロス・ピタエフスキー方程式を通して, 渦の普遍的な性質を数学により解析することが目的である. 今年度は, 前年度に引き続き, 正の温度を持つグロス・ピタエフスキー方程式に研究の焦点をあてた. 絶対零度での凝縮体の波動関数を表現するグロス・ピタエフスキー方程式については既に数学でも物理でも多くの研究が存在する. しかし現実には少しでも温度が上がったとき凝縮体には何が起こっているのか, 凝縮体と凝縮されずに周辺で運動をしている原子との相互作用はどのようなものか考慮する必要がある. また, 渦生成を観察するために凝縮体を高温度から低温度状態へ急冷させる実験が存在し(急冷させる過程で臨界温度というものがあり, そこで相転移が起こり渦が生成される)その実験で用いられるモデルは空間2,3次元である. そこで, 前年度より現実的な空間2次元のモデルにおいて, モデル方程式の解の時間局所存在を負べきソボレフ空間において正当化し, さらにGibbs平衡状態の存在と大域解の存在を数学的に証明した. どのような係数を持つモデル方程式では相転移が起こらないかという結果を出した. 現実的なモデルの解析に前年度より近づいた研究結果である.
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