| 研究課題/領域番号 |
16KT0132
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| 研究機関 | 名古屋工業大学 |
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研究代表者 |
松添 博 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (90315177)
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| 研究分担者 |
高津 飛鳥 首都大学東京, 理学研究科, 准教授 (90623554)
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| 研究期間 (年度) |
2016-07-19 – 2020-03-31
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| キーワード | 情報幾何学 / Wasserstein幾何学 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は，統計科学における幾何学的手法論の統一的な基礎理論を構築するとともに，情報空間における抽象的な「図形」に関する数理解析手法の構築を行うことである．
まず本研究では，再生核理論やカレントなどを用いた図形の特徴づけが目標である．この問題に対し，統計学などで重要な役割を果たすダイバージェンス関数から，カレントが構成できることがわかってきた．カレントの能力がダイバージェンスなどを用いて統計的に議論できると，応用上は非常に有用ではあると考えている．しかしながら，研究成果としては未だにまとまっていない状況である．来年度も引き続きこの問題を精査し研究を遂行する．
また平成２８年度に関連研究において，統計モデルにおける期待値の階層構造という概念が発表された．これは研究開始当初には想定していなかった結果であり，図形の特徴量などに大きな影響を与える．そのため平成３０年度も昨年度に引き続き，期待値の階層構造という視点から幾何学の考察を行った．この幾何学では変形対数関数が重要な役割を果たすが，変形対数関数の構成とモデルの正規化が密接に関係していることがわかった．そのため，既存の変形対数関数の修正を行い，統計モデルの正規化問題などを議論した．さらに通常の対数関数の性質に関して，ユークリッド空間の熱流が保つ最強の凹性が対数凹性ではないことがわかり，最強の凹性が何であるかを決定した．対数関数に付随する情報幾何学の既存の理論は，この最強の凹性を特徴付ける関数を用いて一般化できることが期待できる．対数関数に関連した幾何学について，来年度以降も研究を継続する．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
カレントの情報幾何学的な構成について目途がついたことは大きな進展である．この結果エントロピーやダイバージェンス関数を用いて，従来の情報幾何学とカーネル法，カレントなどが統一的に議論できると期待している．
また，確率変数の期待値が階層的に定義されるという考え方も，本研究において非常に重要であると考えている．熱流に関する研究を発展させ，確率変数の階層的な期待値に新しい解釈を与えることができると考えている．
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究の開始段階では，エントロピー汎関数，または一般化したMathieu汎関数が時間や温度に依存する場合や，汎関数が定義されないが勾配写像は定義される場合のWasserstein幾何学や情報幾何学の考察なども研究目標としていた．非可積分な推定関数に関する幾何学が進展しつつあるので，関連研究の情報収集も行いながら研究を遂行する．
また熱流に関する凹性の特徴付けを，期待値の階層構造と，そこから構成される幾何学構造へ応用できると考えている．期待値系列とエントロピー汎関数の系列の関係性などについても議論をする．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
２０１９年度に幾何学を応用した統計学に関する国際会議が開催されることになった．補助事業の目的をより精緻に達成するため，国際会議に参加して情報収集することは大変有意義である．助成金を旅費，論文掲載料などで使用する．
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