| 研究分担者 |
上野 健爾 京都大学, 大学院理学研究科, 教授 (40011655)
加藤 和也 京都大学, 大学院理学研究科, 教授 (90111450)
深谷 賢治 京都大学, 大学院理学研究科, 教授 (30165261)
中島 啓 京都大学, 大学院理学研究科, 教授 (00201666)
玉川 安騎男 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (00243105)
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| 研究概要 |
本年度は算術的多様体における双有理幾何学に関する重要な進展があった.幾何学的な場合,ビックな直線東の体積関数の性質の中で,重要なものは,その連続性と藤田の分解定理である.その中の連続性について,算術的類似が成立することの証明が完成した.射影的算術多様体X上のエルミートQ-直線束Lに対して,
vol(L)=limsup #{s ∈ H^O(X, nL) ;‖s‖_{sup}≦ 1}/(n^{dim X}/(dim X)!)
と定めると,volは連続であるという結果である.この結果は,当初の予想を超えて,アラケロフ幾何学の種々の定理を証明するための鍵になることがわかってきている.例えば,Hilbert-Samuelの公式の一般化,Faltings-Gillet-Soule-Zhangによるノルムの小さい切断の存在定理,算術的Hodge指数定理,算術的Bogomolov不等式等である.その中でも重要なのが,一般化された算術的Hodge指数定理である.これは,Lが相対的にネフである場合,vol(L)>=(L^{dim X})であるという不等式である.この不等式からの結論として,Faltings-Gillet-Soule-Zhangによるノルムの小さい切断の存在定理,算術的Hodge指数定理,算術的Bogomolov不等式が従う.この種の不等式を従来の方法で取り扱う場合,困難になるのが解析的トーションの漸近的振る舞いであったが,volの連続性は,その困難を回避する重要な道具となっている.今後,さらなる応用があるのではないかと考えている.
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