研究課題
ゲージ対称性を持った共形場理論におけるいわゆる「レベルのシフト」をHitchinシステムの枠組みでどう捉えられるのかという問題について、研究代表者はHitchinシステムにおける、プリム多様体の族から平坦接続のモヂュライ空間への写像の1点逆像から得られるベクトル場を、プリム多様体の族の上の複素直線バンドルの正則切断の空間に作用する微分作用素に持ち上げることにより、「レベルのシフト」が自然に導かれることを示して解決した。「レベルのシフト」を幾何学的枠組みから示したものとしてこれは初めてのものである。また同時にこの微分作用素から共形ブロックのなすベクトル束の射影接続が得られることも示した。これらの結果を用いて研究代表者は共形ブロックの基底を具体的にテータ関数とテータ零値を用いて表示する結果を得た。これはおよそ2年前のことであるが、その当時は対称性のみを指針として式の形を求めることに終始していた。その後研究代表者は共形ブロックの基底を表すこれらの式に含まれる項の幾何学的解釈を明らかにすることに努め、最近になってほぼ全容が明らかになって来た。これはレベルを無限大にしたいわゆる古典極限を考える上において本質的な情報を与えるものである。今年度得られた結果の最も顕著なものは、上記の研究で得られた共形ブロックの基底が準古典極限をとることにより、レベル無限大の極限において曲面の表現空間内のラグランジアンに台を持つデルタ超関数に収束することを明らかにしたことである。テータ関数の性質を用いて2重極限を考えるもので方法論的にも興味があるものである。
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