| 研究分担者 |
樋口 保成 神戸大学, 理学部, 教授 (60112075)
杉田 洋 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (50192125)
小川 重義 立命館大学, 理工学部, 教授 (80101137)
濱名 裕治 熊本大学, 大学院・自然科学研究科, 教授 (00243923)
安富 健児 立命館大学, 理工学部, 講師 (20388127)
|
|---|
| 研究概要 |
この研究により得られた結果は以下の通り。
数列{x_k}が与えられた時その小数部分<x_k>の経験分布1/NΣ^N_<k=1>δ_<<x_k>>の一様分布からの隔たりを与える量として以下の2種類のdiscrepancyがよく使われる。
D_({x_k}):=<sup>__<0【less than or equal】a'<a<1>|1/NΣ^^N__<k=1>1_<[a',a)>(<x_k>)-(a-a')|; D^*_N({x_k}):=<sup>__<0【less than or equal】a<1>|1/NΣ^^N__<k=1>1_<{0,a)>(<x_k>)-a|,
D^*_Nは経験分布の分布函数F_Nと一様分布の分布函数の隔たりをsupノルムではかったものであり、D_Nはその類似である。関係D^*_N【less than or equal】D_N【less than or equal】2D^*_nは自明である。PhilippはHadamard間隙条件n_<k+1>/n_k>q>1をみたす{n_k}に対し重複対数型の評価1/4<lim sup_<N→∞>(ND_N({n_kx}))/(√<2NloglogN>)【less than or equal】C_q a.e.,を与え、さらに特別な数列n_k=2^kに対して重複対数の法則lim sup_<N→∞>(ND_N({2^k_x}))/(√<2NloglogN>)=sup_<0【less than or equal】a'<a<1>^<σ2,a',a>∈[√<(42)/9>,√2]a.e.,を示している。
我々は2を一般のθ>1にした結果をしめした。θ>1とすると
Σ_θ:=lim sup___<N→∞>(ND_N({θ^kx}))/(√<2NloglogN>)=lim sup___<N→∞>(ND^*_N({θ^kx}))/(√<2NloglogN>)=sup___<0【less than or equal】a<1>σ_<θ,0,a,>a.e.x.
ここでsupを具体的に計算する事により以下の結果が得られる。θ^r【not a member of】Q(r∈N)なら,Σ_θ=1/2
θ=√<^r<p/q>>(p,q∈N,r=min{k∈N|θ^k∈Q},gcd(p,q)=1)なら1/2【less than or equal】Σ_θ【less than or equal】1/2√<^<1/2><(pq+1)/(pq-1)>>
さらにp、qがともに奇数ならΣ_θ=√<^<1/2><(pq+1)/(pq-1)>>,特にpが奇数でq=1の時はΣ_θ=√<^<1/2><(p+1)/(p-1)>>.
またP【greater than or equal】4が偶数でq=1の時にはΣ_θ=(√<((p+1)!/(p-3)!))/((2(p-1)^2)>・P=2,q=1ならΣ_θ=(√<(42)/9>
以上の結果は学術雑誌に投稿中である。
|
