| 研究概要 |
グラフの木状被覆問題は,無向グラフの各頂点に隣接するように施設を木状配置する問題との関連から,Arkinらによって導入され,同時に,一様コストの場合に2倍近似保証アルゴリズムが,一般コストの場合に3.55倍近似保証が示された。その後アルゴリズムの改善が見られ,一般コストの場合の近似保証は3+εまで下げられ,更に最近申請者により2倍近似保証することが可能であることが示された。このように,オリジナルの木状被覆問題に対する近似可能性の追求には一応の決着が見られたため,以下のように同問題の拡張版について検討し,その近似可能性について新たに知見を得ることを本研究の目標とした。得られた成果を要約すると,以下の通りである:
・無向グラフにおける木状被覆問題を,有向グラフ上に拡張した。同問題に対し,一様コストの場合,無向グラフの際に用いた手法で2倍近似可能であることを示した。一方,一般コストの場合,近似精度を保ったまま集合被覆問題を還元することで,集合被覆と同等以上に近似困難となり,よって,その近似保証は(P=NPでない限り)Ω(logn)となることを示す。
・木状被覆で解となる木には,グラフ内の任意の辺を含む,もしくは直接つながっている,という制約があるが,この制約を緩和し,任意の辺までの距離が2以下であるような最小木を求める問題(2-木状被覆問題)について検討を開始した。その結果,グラフの支配集合問題を還元することで,一般の場合の近似保証は(P=NPでない限り)Ω(logn)となり,グラフの次数を3以下に制限すると,2倍近似可能となることを示した。
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