| 研究概要 |
非線形性が重要な役割を果たす一般的な複雑系の例として,偏微分方程式で記述される流体問題,自己組織化臨界現象としての各種のセルオートマトンモデルなどを対象とした予備的な研究として,購入予定の高機能ワークステーション上でシミュレーションを実行し,自己相似性の観点からその特徴を整理した.特に,臨界点を有する対流問題,カオスなど,臨界点近傍では複雑系に共通する特徴を呈することは予想され,本研究の目的である体系化を考える点においてこれらの個別な課題に対するシミュレーションは重要である.非線形系の臨界点の特徴は線形項が消滅して非線形項がシステムの挙動を支配していることで,結果的にその挙動は1変数に対する不変性で特徴づけられる.1変数スケーリング法はフラクタル手法に代表される複雑系の特徴を捉える方法と本質的に同じ方法であり,このため,たとえばフラクタル次元を指数にもつべき則が導かれる.さらには,従来の境界層理論や多スケール逓減法に代表される特異摂動法も一種のマルチスケーリングであり,スケーリングに対する不変な挙動を取り出す方法の一例になっている.1変数を多変数に拡張すると,べき則を包含するマルチスケーリング則として一般的な状況における複雑系の特徴を取り出せる可能性が期待できる.シミュレーション研究では,多変数が故に膨大なシミュレーションを必要とするので数値計算のための準備を本研究の計画当初から行う.セルオートマトンモデルなどのように,微分方程式ではなくある種のルールとしてダイナミクスが与えられているモデルもやはり非線形なシステムである.このようなシステムに対する解析方法は従来シミュレーションのみであったが,マルチスケーリングにより複雑系の挙動を詳細に調べることができるようになり,このような場合を含めた一般的な複雑系に対する手法として確立すべく理論研究を推進した.
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