| 研究概要 |
研究実績の概要を、以下の2項目に分けて記載する。
1.有限群Gの対称群による環積について、いくつかの線形表現に対する核の共通部分として定義される群の系列G_nを考える。Aが有限生成群、あるいは副有限群である場合に、Aから群の系列G_nへの準同型の個数に関する指数型母関数E_A(X:{G_n}_O^∞)を決定した。またAが有限アーベルp群の場合について、T.W.Muller氏とJ.Shareshian氏の方法により、Aを剰余類A/B上の置換群と考えるときの符号や、剰余群A/Φ_p(A)から剰余群B/Φ_p(B)への移送写像の核について、一般的な考察を行った。ここでΦ_p(A)はAから1の原始p乗根が生成する巡回群へのすべての準同型に対する核の共通部分である。その結果、Aが有限アーベルp群で、Gが位数pの巡回群の場合に、E_A(X:{G_n}_O^∞)の詳細な情報が得られた。
2.群における方程式の解の個数に関する研究の1つとして、有限群Gの元gに対して、Gのn個の元から成る組(x_1,x_2,…,x_n)で、higher commutator[x_1,x_2,…,x_n]がgに一致するものの個数T_n(g)を対応させる関数T_nの性質を得た。Gの各既約指標について、複素共役との積を既約指標の次数倍の1次結合として表すときの係数を考え、それらを成分とする行ベクトルが各行である行列Aを考える。まずT_nはGの指標であり、T_n/|G|^<n-1>を既約指標の1次結合として表すときの係数が、A^<n-1>の第1行から求まることがわかった。また、n→∞のときT_n/|G|^<n-1>→ρ_Gであることも示された。ここでρ_GはGの正則表現である。さらに、Gがべき零群でクラスがnであるための必要十分条件はAから第1行と第1列を除いてできる行列がべき零行列でべき零指数がnであるということが得られた。
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