研究概要 |
1. 群Gにおける指数dの部分群の個数をM_G(d)で表す。また、群Gからn次対称群への準同型の個数をh_n(G)で表す。A_1,A_2,…,A_tを有限アーベル群、Bを群とし、GはA_1,A_2,…,A_t,Bの自由積であるとする。pを素数とし、P_1,P_2,…,P_tをA_1,A_2,…,A_tのシローp部分群とする。このとき、P_i,1≦i≦t,の型によって定まるある整数rよりtが大きいという条件のもとで、以下のpを法とする合同式を示した。 (1) d≧pならばh_d(G)/d!≡0(mod p) (2) n≧pならばM_G(n)≡-Σ_<1≦d≦p-1>M_G(n-d)h_d(G)/d!(mod p) これはT. W. Mullerによる結果の拡張である。 2. 有限群Aが有限群Gに左から作用するとする。有限自由右G集合Yが、条件a(yg)=(ay)^ag,a∈A,y∈Y,g∈G,を満たす左A集合でもあるとき、Yを(A,G)集合と呼ぶ。この(A,G)集合について、simple(A,G)集合およびそれらの同型類の完全代表系を決定した。さらに、(A,G)集合の成す圏に関するグロタンディック環を定義し、有限群のバーンサイド環で得られる諸定理を一般化した。特にDressのInduction theoremを一般化しているが、それは、一般指標に関するArtinのInduction theoremを含んでいる。
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