| 研究概要 |
本年度の研究では,研究分担者の永友清和氏および名古屋大学の土屋昭博氏と共同で研究を行い,頂点作用素代数の普遍展開環の性質を抽象化した公理系を満たす代数の概念を適切に定義し、そのような代数に対する有効な有限性条件を一般的に定式化することに成功した。そのような有限性条件を満足する代数を擬有限代数と呼ぶことにし、この定式化の下で、ある種の加群の圏が標準的に作られる有限次元代数の加群の圏と同値になることを証明した。
特に、考えている代数が頂点作用素代数の普遍展開環の場合には、昨年度の研究結果を再現する。すなわち、ZhuのC2有限性条件を満たす頂点作用素代数の普遍展開環が擬有限代数となり、与えられた頂点作用素代数の上の加群の圏が有限次元代数の上の加群の圏と同値であることの証明が得られることとなる。なお、C2有限な頂点作用素代数の普遍展開環が擬有限であることの証明には、適切なフィルター付けとPoisson代数の理論が用いられる。
一方、研究分担者の安部利之氏とも共同で研究を行ない、上記の理論のPoisson代数における類似を探るべく、Poisson代数に対する加群の概念やintertwinerの概念の定式化を試みたが、これについては現在の所まだ研究途上である。その他、安部氏はトリプレット代数の一般化を行ない、その上の加群の圏の構造を調べたが、これと本研究のテーマである普遍展開環との関係についても現在の所まだ研究途上である。
さらに、ストックホルム大学のMarkus Rosellen氏と研究打合せを行ない、特に頂点作用素代数と結合的代数の関係について議論し、いわゆるZhu代数の概念をより一般的な枠組みで理解する方法を得た。また、上記の理論を、頂点作用素代数の弱加群に対しても通用するように理論を作り変える方法についても意見を交換し、一定の知見を得た。
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