| 研究概要 |
有限群Gのp-ブロックをB,不足群をDとする.Bのカルタン行列C_B=(c_<ij>)(l×l-行列)のFrobenius-Perron固有値をρ(B)とする.例えばBが次のときC_Bの固有値が整数になることが知られている.
1.Gが有限表現型(すなわちDが巡回群のとき),またはtame(すなわちp=2でDがdihedral, generalized quaternionまたはsemidihedral group)のとき,次は同値である.
(1)ρ(B)が整数になる.
(2)ρ(B)=|D|をみたす.
(3)C_Bの固有値と単因子が集合として(重複度をこめて)一致する.
(4)BとBのBrauer対応子bとは森田同値となる.
2.Gがp-可解群のときは,任意のp-ブロックBに対し次は同値となる.
(1)ρ(B)=|D|をみたす.
(2)C_Bの固有値と単因子が集合として(重複度をこめて)一致する.
C_Bは実対称行列であるから,C_Bの固有ベクトルでR上1次独立なものがl個とれる.それを並べた行列をU_Bと書いて,C_Bの固有ベクトル行列と呼ぶ.ある考察から,固有値がすべて整数の場合U_Bとして,complete discrete valuation ring R上ユニモジュラーなものがとれないだろうかという疑問が自然に湧く.実際1,2の場合にはU_Bとして,R上ユニモジュラーなものがとれ,しかもそれはGのあるブロックβのBrauer character table Φ_βになっていることが証明できた.
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