| 研究概要 |
有限群Gのp-ブロックをB,不足群をDとする.Bのカルタン行列C_B=(c_<ij>)(l×l-行列)のFrobenius-Perron固有値をρ(B)とする.C_Bのすべての固有値ρ_1,【triple bond】,ρ_lが整数のとき,それらはpのべきとなる.C_Bは実対称行列であるから,線形代数から1次独立なl個の固有ベクトルを持ち,それらを並べた行列をU_B(これを固有ベクトル行列とよぶ)とすると,U^<-1>_BC_BU_B=diag{ρ1,【triple bond】,ρ_l}となる.ここでもし,U_BがP-整数環上ユニモジュラーに取れるならば,この式から,C_Bの固有値と(Z-)単因子は一致することが分かる.そこで次の問題が自然に生じる."C_Bのすべての固有値が整数のとき,U_Bとしてdet U_B〓0(mod P)なものが存在するか?"次の場合にこの問題は正しい事が分かった.
1.Gが有限表現型(すなわちDが巡回群のとき),またはtame(すなわちp=2でDがdihedral, generalized quaternionまたはsemidihedral group)のとき,ρ(B)が整数ならば,実際にU_BとしてBのBrauer対応のブロックbのBrauer指標表Φ_bがとれる.
2.Gがp-可解群のとき,p-ブロックBに対しρ(B)=|D|ならば,実際にU_Bとして,Gの部分群または,Gの中心拡大の群の剰余群のブロックβのBrauer指標表Φ_βがとれる.
3.Gが位数9の基本可換群Pをシロー3-部分群にもつ有限群とする.BをGの主3-ブロックとする.もしρ(B)が整数ならば,実際にU_Bとして,BのBrauer対応であるN_G(P)の主ブロックbのBrauer指標表Φ_bがとれる.
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