| 研究概要 |
本研究「正標数の非可換ホッジ理論とクリスタリン構造」の研究目標は、非可換ホッジ理論を正標数の代数多様体、算術的多様体に拡張することである。この目的のため,本研究では高次元圏を用いたクリスタリントポスの構築に向けての一般論の研究を中心におこなってきた.特に高次のトポスの理論をクリスタリントポスの枠組みにあうように構築しなければならないが,高次のトポスの理論にもC. Simpsonのグループによる方法,B. Toenらによる方法,最近のJ. Lurieによる方法などいろいろある.本研究ではこれまでC. Simpsonの方法を中心に扱ってきたが,昨年発表されたJ. Lurieによるものがより,研究目的にあうものであるとの認識を得,それを中心に研究した.本研究で考察している高次トポス上の高次スタックによる代数幾何学の拡張は,クリスタリンホモトピーの研究のみならず,数論幾何や数理物理の分野においても近い将来必要不可欠のものとなると思われる.一方,研究の結果,高次のクリスタリン構造の記述には,従来の整数環上の定式化では不十分であるとの認識に至った.そこで昨年発表されたN. Durovのただ一つの元を持つ体F_1上の高次のトポス理論を構成するという発想を得た.この高次トポスの理論が構成できれば,数論でいう無限素点での情報をより直接的に有限素点での情報と統一的に扱うことができるようになることが期待できる.
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