| 研究概要 |
射影多様体の埋込みの性質について,多重割線,射影多様体を含む次数の小さな超曲面の構成に重点をおいて研究した.特に,次数d,余次元eの射影多様体Xは.次数d-e+1以下の超曲面の共通部分E(X)と一致するかという問題を考察した.B(X)を,Xが双有理に写されないような線形射影のXの外の中心点の集まりとし,C(X)を,Xが双有理に写されないような線形射影のX内の中心点の集まりとする.昨年度までの研究により,E(X)とXは,B(X)を除くと集合として一致し、また,E(X)とXは,B(X),C(X)そしてXの特異点集合Sing(X)を除くとスキームとして一致することが分かっていた.そこで、空でないB(X)やC(X)を持つような射影多様体Xを特徴づけることを目標に研究し、次の結果を得た.C(X)が空でない射影多様体Xで,C(X)でXに接するXの接空間がどの点でも同じ線形部分空間でないと仮定する.このとき,Xは,有理曲線上のスクロールの既約な因子の像になっている.この特徴づけにより,この場合の全てのXが具体的に構成できることがわかり,C(X)をXから分離するd-e+1次の超曲面を構成するための重要な予想を得ることができた.他方で,C(X)が空でない射影多様体でC(X)でXに接するXの接空間が同じ線形部分空間となる場合にも,構造の特徴づけの考察を行い,多くの例を構成した.これらの結果をもとに,B(X)やC(X)をXから分離するための超曲面の構成は,次年度以降の課題である.更に,多重割線とCastelnuovo-Mumford regularityの関係を調べる問題の解決のために,多重割線の交わりの長さの上限を満たす曲線の例を構成した.これらのregularityが交わりの長さと一致するかどうかを調べることは,興味深い問題で,これも次年度以降の課題である.
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