| 研究分担者 |
北本 卓也 山口大学, 教育学部, 助教授 (30241780)
久田見 守 山口大学, 理学部, 教授 (80034734)
宮澤 康行 山口大学, 理学部, 助教授 (60263761)
松野 好雅 山口大学, 工学部, 教授 (30190490)
西山 高弘 山口大学, 工学部, 助教授 (60333241)
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| 研究概要 |
本研究中に得られた主要な結果は次の通り:(1)(一般)バーンサイド環Bの単位部分群から由来する元から生成されるイデアル(1_G)Zを含むイデアルI, JたちによるB=1+JかつIcap J=(1_G)Zを満たすようなBの分解の仕方の総数と、一般素数グラフの連結成分に適当な同値関係による同値類の個数が同じであることを示した。(2)群論的性質Prを満たす群Gの部分群全体をSub(G)と書き、Sub(G)を基とする形式的加法群R(G)は、二つの部分群の共通部分をとる操作を積と考えるとか可換環になることがわかる。この環はGの自然な作用をもち、その不変環Rを考えると、一般バーンサイド環B(G)はRを含むR(G)のG-不変部分環となっていることがわかる。R(G)からB(G)への写像fが次によって定義できる:f(x)=sum_(gin G)x^9。このようにして得られた三つ組み$(R(G),B(G),f)$または、その一般化したものをo-集合三つ組みと呼ぶ。このとき次が成立する:「Xを偶数次の直交群、斜交群ではない有限群とする。有限群Gに対して、$(R(G),B(G),f)simeq(R(X),B(X),f)$が成り立つならば、GとXは同形である。」(3)以上のような一般素数グラフと一般バーンサイド環の考察より、素数グラフについての次のような命題を証明した:「非可解な偶数位数の群Gの位数を割り切る奇素数pのシローp部分群が巡回群でないとし、更にシロー2群は巡回群・一般四元数群でないと仮定する。このとき、Gの非単純因子はただひとつであり、以下の単純群と同形である:PSL_2(p^a)~(a>1),PSL_3(2^s)(sequiv2(mod4))$あるいは、PSU_3(2~t)(tequiv1)(mod4))に限る。」
上に挙げたのは本研究における主要なものであるがそのほかの成果については、投稿中の論文「A generalization of prime graphs of finite groups II」及び、「Prime graphs of finite groups and chains of normal subgroups」、「Automorphisms of finite groups of prime order」を参照のこと。
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