| 研究概要 |
(1)点付き代数曲線のモジュライ空間の研究。与えられた数値的半群Nを持つ種数gの点付き代数曲線(の同形類)全体のなすモジュライ空間M_<g,1>^Nを、数式処理システムSingularを用いて調べ、「種数gが6以下で、Nの生成元の個数が4以下ならば、モジュライ空間M_<g,1>^Nは、(1つの場合を除いて)既約な有理的代数多様体である」という定理を得た。この結果は、論文「On the moduli space of pointed algebraic curves of low genusII-rationality-」にまとめられて、投稿中である。
(2)特殊線形群の有限部分群による不変式環の研究。4次特殊線形群SL(4)の原始的有限部分群は、Blichfeldtにより、(共役を除いて)30種類あることがわかっている。研究の目標は、この30種類の群について、不変式環の生成元およびそれらの関係式を具体的に記述することである。現在までに、不変式環のHilbert(Molien)級数を計算することによって、30種類中10個だけが、その不変式環は完交環であって、残りの20個については、完交環でないことがわかった。2次元および3次元の場合は、特殊線形群の原始的有限部分群による不変式環は、すべて完交環なので、4次元では違った現象が起きていることが観察された。さらに、30種類のうち、位数の小さないくつかの群については、生成元および関係式を比較的簡単に計算することができた。のこりの群は、位数が大きく(数万〜数十万)、計算は困難であったが、不変式環の広中分解を用いて、計算できる見通しがついた。
(3)代数的組合せ論とtoric多様体の研究。ユークリッド平面内の反射的整凸多角形Δは、toric多様体の理論を用いて、toric Gorenstein del Pezzo曲面と1対1に対応する。瀧等によってΔは格子の同形をのぞいて16種類に分類され、従って、toric Gorenstein del Pezzo曲面も16種類ある。私達は、これらのtoric Gorenstein del Pezzo曲面上の完備線形系を調べ、特に完備線形系の次元と次数の最小値を決定し、これを用いて、toric Gorenstein del Pezzo曲面が、いつ射影空間内で完全交差になるかを完全に決定した。この結果は、現在論文「On projective embeddings of toric Gorenstein del Pezzo surfaces」として準備中である。
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