| 研究概要 |
有限個の生成元と有限個の定義関係で決まる代数系(有限表示代数系)が完備な書換えシステムで定義されている場合は、代数系上の様々な計算問題や決定問題が、アルゴリズム的に取り扱えるので、計算科学からの観点でも、その研究は重要である。
本研究では、有限表示代数系、特に、モノイド、群と結合的代数を、書換えシステム(Groebner基底)の手法を用いて研究した。代数系が完備書換えシステムを持つための条件、および、そのホモロジー(環)との関係を調べた。
結合的代数とその両側自由加群上のGroebner基底の理論を基に、自由分解を構成し、代数のHochschildコボモロジーの計算に適用する一般論は前論文(Groebner bases on associative algebras and the Hochschild cohomolog, Trans AMS 357,2005)で展開したが、これを、pass algabraから定義されるの両側射影加群上の理論に一般化し、さらにコホモロジーの環構造も計算する手法を開発した(論文1)。この方法は加群のsyzygyの計算に適用できるので、その方向に研究を進め、代数系の様々な問題へ適用できるようにしたい。
この手法は、さらに広く、整列順序の入った半群を基底とする代数上に拡張できる見通しがあり、この研究は進行中である(論文2)。これは、様々な代数系上で展開されているGroebner基底の理論を統一すると共に、ベキ零元をもつ代数も含むので、適応範囲が広がることが期待される。
論文3,4では、グラフやデザインに現れる離散構造の存在性、およびその組合せ的性質について研究の成果を発表した。また、そのハードディスク配置問題への応用について論じた(論文5)。
平成18年9月には東邦大学理学部において、代数系の計算論に関する研究会を開催し、その成果を報告集(図書1)にまとめた。
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