| 研究概要 |
本研究では、有限表示代数系(有限個の生成元と有限個の定義関係で決まる代数系)を、書換えシステムの手法で研究した。Groebner基底を、加群上での書換えシステムとしてとらえ、統一的枠組みで理論展開した。
結合的代数とその両側自由加群上のGroebner基底の理論を基に、自由分解を構成し、代数のHochschildコホモロジーの計算に適用する一般論は、前論文(Groebner bases on associative algebras and the Hochschild cohomolog, Trans AMS 357,2005)で展開したが、これを、さらに広く、整列順序の入った半群を基底とする代数上に拡張して展開する試みについて、議論した。この設定では、0約元が入ってくるので、理論展開に困難が生ずるが、危険対の概念を拡張することで回避できることを示した(第3論文)。さらに、加群上に整列順序をうまく導入することで、加群の射影分解の構成が可能になると考えられ、今後の研究課題になる。
第1論文では、モノイドの有限生成性と1次元ホモロジーの有限性との関係を詳しく調べ、モノイドのジグザグとの結びつきを見出した。また、書換えシステムの手法で、有限生成でないが強いホモロジー有限性をもつモノイドを構成した。
第4論文では、グラフやデザインに現れる離散構造の存在性、および、その組合せ的性質について研究の成果を発表した。
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