| 研究概要 |
すべての閉三次元多様体は結び目上分岐する三重分岐被覆空間で表されることがわかっている.そこで,ある結び目の集合で得られる多様体を決定する問題が考えられる.古くは細川・中西によりプレツェル結び目に対して決定された.また,3次の組み紐結び目に対しては村杉が決定し,そして筆者が結び目からその多様体を決定するアルゴリズムを与えた.そこで,トーラス結び目上分岐する三次元球面の被覆空間を求めるアルゴリズムを考察した.トーラス結び目はザイフェルト多様体の構造を持ち自然にその構造が被覆空間に持ち上がる.そこで,三重分岐被覆空間を持つトーラス結び目を決定し,それのなす被覆空間を決定しようとした.今のところ部分解を得ただけなので,来年度さらに拡張したい.また,これにより,ある多様体で異なる結び目の二重被覆空間になりえる候補を見つけることができる.また,被覆空間を用いた多様体の不変量の研究では,東工大の畠中氏が不変量を与えている.また,それの拡張として,Dijkgraaf-Witten不変量の被覆空間から見た解釈を与えた.彼女の方法は,結び目の被覆空間を決定するモノドロミーと呼ばれるものの他にカラーと呼ばれる群の要素を対応させるというものである.筆者はモノドロミーを与える方法については長く研究しているので,それの拡張として新しい,不変量の研究を行っている途中である.Dijkgraaf-Witten不変量を被覆空間から求めることができるので,プレツェル結び目,3次組み紐結び目などの被覆空間として得られる多様体のDijkgraaf-Witten不変量は被覆空間を用いて計算できることになった.
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