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幾何学の分野においては、多様体に限らずアレキサンドロフ空間などのより一般的な空間を対象とした研究が盛んとなっている。本研究でも、研究対象を2次元のpiecewise Riemannian polyhedron(リーマン多様体上の三辺形を張り合わせてできる局所有限な複体の構造を持つ完備な多面体)という曲面を一般化した空間として設定し、この空間を曲率(特に全曲率)の見地から特徴付けることを目的としている。
2次元多面体の研究においては、面が分岐することにより、どのような性質が現れてくるのかを見極めることが重要である。特に、曲面との違いを明確にしていくところに面白さがある。多面体のモデルとして、現在正定曲率多面体の分類について検討しているところではあるが、残念ながらまだ成果としてまとめるには至っていない。できれば、早めにまとめたいと考えている。
2次元多面体の面の分岐を調べるには、各頂点におけるリンクを見ればよい。リンクは1次元の複体であり、グラフの研究が大いに役に立つ。分担者:伊藤仁一氏による論文"Tightness of Graphs : Realizations with the two-piece-property"はグラフに関するものであり、頂点のリンクの研究にも役立つ可能性がある。また"Tetrahedra passing through a circular or square hole"は正四面体に関する論文、"On the length of simple closed quasigeodesics on convex surfaces"は凸曲面に関する論文である。少しテーマは異なるものであるが、それぞれ本研究の研究対象にも関連する対象に関する結果となっている。
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