| 研究分担者 |
加藤 久男 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 教授 (70152733)
酒井 克郎 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 准教授 (50036084)
川村 一宏 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 准教授 (40204771)
谷山 公規 早稲田大学, 教育総合科学学術院, 教授 (10247207)
横田 佳之 首都大学東京, 都市教養学部理工系, 准教授 (40240197)
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| 研究概要 |
厚み付き曲面内のリンクLについて、厚み付き曲面から曲面への射影によるリンクダイアグラムから直接計算可能なブラケット〈L)とリンク不変量F(L,A)を導入した。〈L)とF(L,A)は曲面内の余次元1の自明な成分を含まないリンクのアイソトピー類全体と整数1で生成されるLaurent多項式環係数の自由加群に値をもち、曲面が単連結な場合はそれぞれKauffmanブラケット多項式、Jones多項式と同等である。単連結でない厚み付き曲面における結び目絡み目現象は局所的側面(=位相的3-球体内の現象)と大域的側面を合せ持つ。〈L)とF(L,A)はこれら2つの側面を良く反映している。本研究では、〈L)とF(L,A)の性質の解明、一般化と応用を主目的とし、関連する他の大域的(側面を反映した)不変量についても研究を進め、以下のような成果を得た。
1. 単連結な曲面の場合のリンクの積に対するJones多項式における公式を、一般の曲面の場合の(必要な修正を加えた) F(L,A)に関する公式に一般化した。
2. 曲面が2-punctured平面の場合、Kauffman-Goldmanはある種のリンクのに対し電気回路網における2極間のconductanceに由来する量を定義しリンク不変量となることを示した。〈L) を用いたこの結果の別証と多極化に相当する一般化を得た。
3. 多変Alexander多項式のようなリンクの成分数を反映したF(L,A)の多変数化を試み幾つかの結果を得た。
4. 連結、交代リンクダイアグラムで表されるリンクのsupporting genusを決定するためのKey Lemmaの証明を完成し、厚み付き曲面版Tait Theoremの完全な証明を得た。
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