| 研究概要 |
4次元においても極限モデルの理解が不可欠との昨年度の認識に基づき,3次元におけるHamilton,Perelmanの特異点の分類と極限モデルの研究を詳しく調べ,4次元への拡張の可能性を検討した。その結果,3次元で有効であるHamilton-Iveyの拡張の可能性が非常に少ないことを確認し,同時に4次元での特異点の生成が極めて複雑であることの認識をえた。実際4次元多様体として2つの2次元球面のカルテシアン積を考え,一方に標準計量,もう一方をファイバーと考えたとき,ファーバーの球面の半径を変化させる,いわゆるワープ積を与えたとき,十分半径を小さくしたファイバーはRicci Flowを走らせたとき,ファーバー方向が崩壊するが,他方,十分大きい半径のファイバー部分ではベース方向が崩壊する。したがって,これら2つのファイバーの中間領域では初期計量の与え方によって非常に複雑な現象が起こることが強く示唆されることがわかった。このような状況の解析は3次元の特異点の生成においてもIIa型の存在が強く示唆された状況と似ており,厳密な結果を得るのは一般に困難である。そこで、曲面ファイブレーション上の適当な初期計量からどのような特異点が生成されるかを地道に調べ始めている。この方向でまだ確定的な結果を得てはいないが,4次元でも大きな部分を占めることになる双曲構造に関連して,共同研究者の杉山氏が3次元におけるファイブレーションと数論の観点から結果を得ている。
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