| 研究概要 |
情報幾何に現れる統計モデルの多様体のα-接続と呼ばれる対称なアファイン接続の1-パラメータ族から,統計モデルの多様体の接バンドル上に概ケーラー構造の1-パラメータ族が定義される.特に,正規モデルと離散分布族のモデルの場合にその接バンドルに導入される概ケーラー構造について,その微分幾何学的性質を調べた.中でもEinstein構造を持つ場合に興味が持たれるが,次のような結果が得られた.
1.接バンドルの概ケーラー構造がケーラー構造になるのは,α=±1の時に限ることが確認された.(このときのα接続は平坦である.)
2.正規モデルの場合,α=-1のときは接バンドルのケーラー構造は特に正則断面曲率が一定-2を持つこと.従ってこの場合はEinsteinとなる.一方,α=1のときはEinsteinにならない.
3.離散分布族のモデル(2次元)の場合,α=1のときは接バンドルのケーラー構造は特に正則断面曲率が一定1を持つこと.従ってこの場合はEinsteinとなる.一方,α=-1のときはEinsteinにならない.
これらは情報幾何と概エルミート幾何学をつなぐ新しい知見として注目される.
なお,上記の結果は曲率の直接計算によるため,特に3.の場合2次元モデルの(4次元)接バンドルに限られたが,後により一般的な状況の下で同様の結果を示すことができた.特に一般次元でも成立することが分かる.これらについては現在投稿中である.
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