| 研究概要 |
平成20年度は,申請時の計画に書かれた課題の内,まだ未着手だったSegalのK-ホモロジー理論の一般化について研究を行った。昨年度参加したK理論と数理物理学に関する国際研究集会においてtwisted K理論の重要性を認識するに至り,SegalのK-ホモロジーのtwisted K理論への一般化について研究した。
そのために、まずトポロジカル両側バー構成を部分的に積を持つ位相モノイドMとその作用する空間X, Yに一般化し,単体的空間B (X, M, Y)を構成した。それに関する主結果として,B (X, M, Y)からB (X, M, *)への射影が準ファイバー空間になるための条件を得た。次に,SegalのK-ホモロジーの構成のMayのlinear isometries operadを用いた別構成を与えた。Atiyah-Segalのtwisted K理論は無限次元の射影空間をファイバーに持つバンドルを用いて構成されるが,今回発見されたSegalのK-ホモロジーの構成は,無限次元射影空間をファイバーに持つ自明なバンドルを用いて構成されていると解釈できることを発見し,それによりAtiyah-Segalのtwistingを持つことを証明した。構成されたSegalのK-ホモロジー,およびそのtwisted版がホモロジー論の公理を満たすことを証明するために最も重要な線形性については,上記の両側バー構成の一般化についての結果が適用でき,共にホモロジー論になることが証明された。更に,この方法は他の連結ホモロジー論の構成にも適用できることを,いくつかの例を用いて確かめた。特に,Madsen-Tillmannの1+1次元コボルディズムからできるスペクトラムのホモロジー論への一般化の具体的構成を与えることに成功した。
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