| 研究概要 |
小林は結び目の外部空間のHeegaard分解に関する研究を行った.まず斎藤敏夫との共同研究で2つの結び目のトンネル系が与えられたとき、それらの結び目の連結和におけるこれらのトンネル系の和が安定化されたHeegaard分解を与えるための必要十分条件を与えた.またYoav Rieckとの共同で任意の自然数nに対してある結び目Kでそのコピーをn個連結和して得られる結び目nK(に対してt(nK)=nt(K)+(n-1)が成り立つようなものが存在することを示した(但しここでt(L)は結び目、Lのトンネル数を表す).この結果の帰結として結び目のトンネル数の超加法性に関する森元の予想の反例が構成できる.
有限生成群Gとその有限生成系Aを一つ固定する。数列{a_n}をa_n:=Gの要素gでAに関する語長がnとなるものの数、で定め、式形的巾級数g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...をgrowth functionという.growth functionは有理式による表示を持つことが多いが、具体的表示を求めることは一般には困難である.
山下は中川義行氏、田村誠氏との共同研究で、2橋絡み目群(より正確にはConway表記から定まるWirtinger表示)のgrowth functionの有理式表示がどのようなものかについて、計算機実験をもとに予想を提出した.
片桐は与えられた多様体上のRiemann計量全体から成る空間上の変分問題,及びその上のフローについての研究を行った.特に,近年のRicciフローを用いた三次元多様体の研究に刺激され,Laplace作用素の固有値を始めとする様々な幾何学的な量から定義される変分問題や,それら幾何学的な量がフローによりどのように変化するかを調べた.また上記研究の共形幾何学的な研究を行った.
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