| 研究概要 |
本年度はラベル付き配置空間の理論的側面および幾何学的応用に関する研究を展開するとともに,その同変化のために必要な基礎的研究を行った。
ラベル付き配置空間の理論面においては,群完備化に関して次に述べる命題が成り立つことを示した:ラベルの空間が位相アーベル半群の部分集合であるとき,それに対応するラベル付き配置空間から,ラベルの空間を元のラベル達の差の形に表されるラベル全体に拡張して得られるラベル付き配置空間への自然な写像はHopf空間の群完備化写像である。さらに,この命題の一つの応用として,整数のなす自由加群の任意の有限部分集合Mと空間Xのスマッシュ積をラベルとするラベル付き配置空間の群完備化はXの安定ホモトピー型QXに同値であることを示した。これは,「正および負の電荷を持つ粒子("positive and negative particle")」の空間に関するCarusoの結果を大幅に一般化するものとなっている。
一方,ラベル付き配置空間の幾何学的応用としては,山口が行った正則写像の空間の位相に関する研究を挙げることが出来る。もともと,このテーマはSegalの研究に端を発し,ラベル付き配置空間の概念を生む契機となったものであるが,その思想を徹底的に推し進めることにより,正則写像の空間のホモトピー型のより詳細な研究が可能となった。
以上は,群の作用を考慮しない場合の成果であったが,群(特に有限でないコンパクトリー群)が作用する場合には,ラベル付き配置空間の枠組みではもはや不十分であり,有限点集合の代わりに多様体の配置を用いた新たな理論の構築が必要である。そのための基礎的研究を行うことが本年度の研究実施計画の主要な点であったが,これに関しては,奥山が「区間の空間」の概念を定義し,来年度の研究計画の基となる重要な結果を導き出している。
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