| 研究課題/領域番号 |
17540105
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
笠原 勇二 筑波大学, 大学院数理物質科学研究科, 教授 (60108975)
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| 研究分担者 |
南 就将 筑波大学, 大学院数理物質科学研究科, 助教授 (10183964)
籠屋 恵嗣 筑波大学, 大学院数理物質科学研究科, 助手 (40323258)
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| キーワード | 一次元拡散過程 / 逆正弦法則 / ブラウン運動 / 安定分布 / 局所時間 |
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| 研究概要 |
主として一次元拡散過程の加法的汎関数、特に正側滞在時間について、時間無限大での漸近挙動について調べた。歴史的にはこの問題は、ブラウン運動やランダム・ウォークの場合については逆正弦法則に従うことがよく知られており、多くの人々によって様々な一般化がなされてきた。Lampertiは非常に一般的な離散時間の確率過程について可能な極限分布と、その吸引域を与えた。一次元拡散過程には彼の結果を適用出来ないが、この場合についてはS.Watanabeにより同様な結果が得られている。これらは古典的な結果であるが、最近はファイナンス理論との関係が指摘されて再び注目をあびている。
本研究では、そのWatanabeの定理において極限分布が退化してしまう場合を扱った。これはpositive recurrentの場合であり、Watanabeの結果は大数の法則に相当する。一般に確率論においては大数の法則が成り立つときはそのfluctuationを調べるのが次のステップであり、中心極限定理に相当する。本研究で得られた主な結果は次の通りである。
(1)一般化された一次元拡散過程でpositive recurrentの場合は、スピード測度が遠方で正則変動をしているとき、正側滞在時間は適当な正規化を行えば安定分布に収束する。
(2)上の結果の証明の為に、ブラウン運動の局所時間の積分で表せる確率過程の極限定理を求めた。また、これらはスペクトル理論と密接な関係があることが分かった。
これらの結果はIllinois J.のDoob記念巻にて出版された。また、これらの理論から派生する問題としてランダム媒質中の拡散過程やランダムウォークへの応用があり、執筆中である。
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