研究課題
基盤研究(C)
(1)平面上の単位距離グラフの特徴づけや、染色数の上限を決定する問題は非常に難しく、これまでのところ大きな進展は見られていない。今回の研究では、グラフとその補グラフがいずれも平面上の単位距離グラフとなるようなグラフを枚挙することができた。その個数は69個で、その中で連結なものは55個である。また、7個は自己補グラフである。(マニラのデ・ラ・サール大学のS. V. GervacioとY. F. Limとの共同研究)(2)格子点を通る球面に関して次の結果を得た。任意の整数n>d≧m>1に対して、d次元空間内の球面で、その上にちょうどn個の格子点が乗っていて、しかもこれらのn個の格子点はm次元のポリトープを張るというような球面が存在する。これは1998年に松本眞との共同研究で得た平面上の円についての結果を拡張したものである。(3)d次元空間内のd+2個の単位球面の配置で、どのd+1個の共通部分も空ではないがd+2個全部の共通部分は空となるようなものを、d次元の単位球面システムという。1次元の単位球面システムは存在せず、2次元では、多数の単位球面システムが存在する。今回の研究で、どんなd>3についても、d次元の単位球面システムが存在するが、3次元の単位球面システムは存在しないことを証明することができ、1989年以来未決着であった単位球面システムの問題に決着がついた。(徳重典英との共同研究)(4)3次元空間内の互いに交わらない球の族に関しては、接触グラフの染色数、knotted cycleを作るのに必要な球数(ball number)のバウンドを少し改良することができた。
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