研究課題
基盤研究(C)
本年度は、昨年度における目標の中の一つであるi)素過程としてのノイズ、その応用、についても継続して研究をつづけるとともに、新しくii)ポアソンノイズの特性を利用して、ベキ乗分布の特徴づけと、その情報社会学への応用を論じ、又iii)ガウス型のホワイトノイズとポアソンノイズとの双対性についての研究を行って成果をえた。これらについての研究成果は以下のとおりである。i)昨年度詳しく調べたInnovationについての継続であるが、基本的な場合はレヴィ過程の微分となることから、素成分としてのホワイトノイズおよびポアソンノイズの確率的構造を調べることが課題である。このとき複合ポアソンノイズが現れるが、特に、自己相似性をもつときは、複合化の結果に不変性が要求される。これを明らかにして、応用上、安定過程として現れるものの構造解析に用いた。ii)情報科学上の問題で、しばしばベキ乗分布が現れる。これを単に1次元分布として眺めるのでは、元の現象の数理的な解析にはならない。そこでこの分布を安定過程の中に埋め込める。すなわち、補助的な情報を求めて、得られたベキ乗分布が安定過程のある1時点における分布であるようにできるかどうかを検討した。安定過程の特性はいくらか知られているが、我々は素なポアソンノイズの特性に帰着させて、詳しい性質を探しだした。これから問題のベキ乗分布に従う現象の隠れた特性を見つける方法の一つを提案することができた。この理論の応用は豊富である。iii)ホワイトノイズとポアソンノイズは素であり基本的なノイズである。両者について、類似点を列挙する研究は勿論重要であるが、いわゆるdissimilarityをみるのはより興味深い。さらに両者の間に存在する、dualityの探求は奥深いものがある。レヴィのラプラシアンは一つのdualityのための橋渡しをするが、我々は、さらに本質的な、しかも隠れた相互関係を見ることができた。それは、ブラウン運動(したがってホワイトノイズ)をランダム・ウオークで近似して、その汎関数からホワイトノイズと指数分布、したがってポアソンノイズとの間にあるdualityを見ることができた。これは重要な発見であると考える。
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