| 研究概要 |
結び目理論に関する問題の計算量について研究を行った。絡み目のJones多項式は結び目理論における重要な多項式不変量の1つであるが,ダイヤグラムからJones多項式を計算する問題は#P-困難であることが知られて,Jones多項式を計算するアルゴリズムの研究はコンピュータサイエンスの問題としても興味深い。ダイヤグラムを入力する場合その符号化にはいくつかの方法が考えられるが,ここではテイトグラフと呼ばれる辺に符号をつけた平面グラフを入力するものとする。テイトグラフはダイヤグラムの交点を辺とする符号付平面グラフであり,そのサイズはダイヤグラムの交点数に比例する。したがってアルゴリズムの評価はダイヤグラムの交点数に対して行えばよい。いくつかの性質を満たすダイヤグラムからは交点数の多項式時間で計算できることが知られているが,我々のグループも,2-橋型または3-組み紐型のダイヤグラムのJones多項式を高速に計算するアルゴリズムを考案し実装した。このアルゴリズムではダイヤグラムの交点数をnとしたときKauffmanブラケット多項式をO(n)回の多項式演算で計算することが出来る,計算の途中で現れる多項式の次数はO(n)であり,それらの係数のサイズもO(n)だから我々のアルゴリズムの計算量はO(n^2logn)であることがわかる。さらにJones多項式はKauffmanブラケット多項式からO(n)時間で計算できるので総計算量はO(n^2logn)である。これは最悪の場合の時間であり平均的にはさらに高速であると思われる。
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