| 研究概要 |
結び目理論に関する問題の計算量について研究を行った。Jones多項式など絡み目の多項式不変量は絡み目理論における重要な不変量であるが,絡み目のダイアグラムから多項式不変量を牡算する問題はAleXander多項式以外のほとんどの多項式については#P-困難であることが知られている。ただし,ダイアグラムの符号化はデイトグラフと呼ばれる辺に符号をつけた平面グラフを用いるものとする。デイトグラフの辺の本数はダイアグラムの交点数に等しいので計算量はダイアグラムの交点数nで評価すればよい。Jones多項式はKauffmanブラケット多項式から○(n)時間で求めることが出来る。したがって,絡み目ダイアグラムのkauffmanブラケット多項式自身は絡み目不変量ではないが,Kauffmanブラケット多項式の計算アルゴリズムについて考察すればよい。デイトグラムの樹幅が2のダイアグラムなど,いくつかの絡み目ダイアグラムのクラスに対してはJones多項式を多項式時間で計算できることが知られていた。本研究では前年度から2-橋型ダイアグラムや3-組み紐型ダイアグラムについてJones多項式を高速に計算するアルゴリズムの研究をしてきたが,今年度からはこれに加えてMontesinos絡み目ダイアグラムのJones多項式の計算アルゴリズムの研究も行った。いずれの場合も絡み目ダイアグラムからそのKauffmanブラケット多項式を○(n)回の多項式の四則演算で計算するアルゴリズムであり,この計算において現れる多項式の次数が○(n)であることから計算量はO(n^2logn)であることがわかる。
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