| 研究分担者 |
飛田 武幸 名城大学, 理工学部, 教授 (90022508)
西 健次郎 名城大学, 理工学部, 講師 (30076616)
三町 祐子 名城大学, 理工学部, 講師 (00218629)
SI Si 愛知県立大学, 情報科学部, 助教授 (70269687)
日比野 雄嗣 佐賀大学, 理工学部, 助教授 (50253589)
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| 研究概要 |
2年間の研究期間のうち,平成17年度科学研究費補助金を受けさせて頂き,研究活動に従事させて頂いた.今回の研究の目的は,確率論,解析学,非可換幾何,数論,計算機科学のそれぞれの専門分野から総合的に応用に適した無限次元確率解析を共同研究し,その立場からの量子化法,さらに量子情報解析として新しいアプローチを展開することにある.得られた主な成果としては,1)独立なレヴィ過程の差として表わされる確率過程を基にしたノイズの空間上でレヴィラプラシアンを考え,その生成する確率過程を構成した.この場合のレヴィラプラシアンの定義域はレヴィ測度に関するL2空間の範囲内で捉えることができ,その上で自己共役作用素になることも示される.更に,調和関数はガウス測度の場合に限ることもわかる.レヴィラプラシアンが固有関数となるための必要十分条件も与えることができ,これが量子分解に繋がる.2)レヴィラプラシアンの定義域として,レヴィトレースに関するノルムによる核型空間をとることができ,この空間上で考えると,無限次元Wiener過程の生成作用素となることがわかった.この結果を作用素ホワイトノイズ汎関数空間上に拡張して,3)量子グロスラプラシアン,および量子レヴィラプラシアンを定義し,それらの生成する量子確率過程を構成することも出来た.この結果により,量子コンピュータの生成作用素なるものも考えることが出来る.4)無限次元フラクショナルOrnstein-Uhlenbeck過程とレヴィラプラシアンとの関連性をつけることができた.この結果はレヴィラプラシアンに基づいた確率解析をファイナンスへ応用する際にその足掛りとなるものである.フラクショナルに限らず,一般の無限次元Ornstein-Uhlenbeck過程との関連性についてもこの結果を拡張することができる.量子フラクショナルOrnstein-Uhlenbeck過程と量子レヴィラプラシアンとの関連性も得ることが出来る.これらの成果は,海外共同研究者Kuo教授との,ホワイトノイズ作用素解析からの量子確率論の共同研究,また,ローマ大学ヴォルテラ研究所のアカルディ教授との量子確率論の共同研究の進展に繋がった.
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