| 研究概要 |
2006年度は,まとめていなかった論文二編をようやく執筆し,また新分野開拓のための技術の習得を精力的に行った.
一つめの論文では,ユークリッド空間上の定数係数楕円型擬微分作用素のレゾルベント評価を行い,対応する分散型方程式の初期値問題の解の滑らかさの評価に応用した.この種の評価式はいくつかの種類が知られているが、あるタイプに関しては拙著(2002)において一般の定数係数実主要型作用素に対する最終結果が得られているものの,証明が複雑で難解であるという指摘を受けてきた.筆者はKurodaのフーリエ変換の単位球面への制限の理論を一般の定数係数楕円型作用素の主表象に対する単位余接球面上に一般化し,さらに低周波数帯における精密な評価式を導出することにより,楕円型作用素に限定ながらも筆者の最終結果の簡単な証明や別のタイプの評価式の最終結果と思われる評価が得られた.
もう一つの論文では,古典的エネルギー法では扱うことの出来ない半線型シュレーディンガー方程式の初期値問題の解は,初期値の台が有界ならば解析的であることを証明した.解が初期値の減衰に応じて有限階滑らかになることは拙著(1999)で証明されている.
この論文では,係数が滑らかでない擬微分作用素の系を扱うこと,及び,ある種の「数え上げ」に対する精密な工夫を用いて微分回数に対する数学的帰納法により解に対するコーシーの評価式を求めるという極めて素朴な証明を行うので,非常に煩雑な論文になっている.
昨年度の1月にある研究集会に出席したのがきっかけになって,FBI変換を用いたSjostrandの超局所解析/準古典解析の理論を学び、解析学を展開する舞台を増やすために,双曲空間上などでの調和解析の理論をじっくり学んでみた.今後はこれら生かした方向でがんばりたい.
|
