| 研究概要 |
滑らかさの正則性を持たない積分核から定義される、変化する回転面に沿ったCalderon-Zygmund型の特異積分に対して、ある種の積分核の大きさに関する条件のもとに、Lebesgue空間Lpでの有界性が示された.これにより、特に、2次元の場合に、Grafakos-Stefanovの斉次特異積分に対する結果がR.Fefferman型の非斉次特異積分の場合に拡張された.この結果が高次元の場合に拡張するかどうかはこれからの研究課題のひとつである.
変化する回転面に沿ったCalderon-Zygmund型の特異積分の評価の場合は、固定された回転面にに沿ったCalderon-Zygmund型の特異積分の評価と違い、Fourier変換を用いた方法が有効に使えなくなる.このため、証明にはFourier変換の評価を直接的にを用いるのではなく、この特異積分に付随する変化する回転面に沿った最大関数のLebegue空間における有界性を用いる.また、Littlewood-Paley理論がこの問題に適合された形で用いられる.
変化する回転面の場合は、相対性がうまく機能しないた、特異積分のLebesgue空間Lp上での評価はpが2より大きい場合と小さい場合とで違いが出る.これが本質的なことなのか、譲許できることなのかはこれからの研究課題でのひとつである.回転面が固定され手いる場合は、Fourier変換および相対性が有効に機能し、変化する回転面の場合よりもより広い空間上での有界性が、より弱い条件のもとで示される(A note on the singular integrals associated with a variable surface of revolution, Dashan Fan and Shuichi Sato).
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