| 研究概要 |
本年度は研究課題遂行の為の第一歩として,波動方程式における短距離型の非線型項・長距離型の非線型項という概念を確立することに焦点を充てて取り組んできた.短距離型の非線型項とは,対応する非線型波動方程式の解が斉次線型方程式の解に時刻無限大においてエネルギー・ノルムの意味で漸近するようなものであり,長距離型の非線型項とはそうでないものというイメージである.従って,時刻無限大において斉次線型方程式の解に漸近しないような時間大域解を持つような非線型方程式を探し,そして,その非線型方程式の解の漸近挙動が一般に斉次線型方程式の解とは実際に異なることを示す事が課題となる.
上述の問題について,我々は幾つかの自明ではないと思われる具体例を見つける事に成功した.更に,その様な非線型方程式の解の漸近挙動は,非線型に線型方程式の解を代入して得られる非斉次線型方程式によって特徴付けられる事を明らかにした.これらの結果は,長距離型の非線型項という概念を上のように考える事が妥当である事を意味している.
しかしながら,一般に非斉次線型方程式の解の漸近挙動は複雑かつ多様である.その為,現時点で得られた結果では,長距離型の非線型項を持つ波動方程式の解の漸近挙動の解析としては未だ不十分と言わざるを得ない.次年度以降の課題としては,極限方程式として導いた非斉次線型方程式の解の主要部を明らかにし,元の方程式の非線型項の寄与をより詳しく考察して行く事である.
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