汎関数解析とFeynman経路積分の数学理論

2005 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 17540170
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 研究機関: 学習院大学
• 研究代表者: 藤原 大輔 学習院大学, 理学部, 教授 (10011561)
• 研究分担者: 谷島 賢二 学習院大学, 理学部, 教授 (80011758) ; 片瀬 潔 学習院大学, 理学部, 教授 (70080489) ; 水谷 明 学習院大学, 理学部, 教授 (80011716) ; 渡辺 一雄 学習院大学, 理学部, 助手 (90260851) ; 下村 明洋 学習院大学, 理学部, 助手 (00365066)
• キーワード: Feynman経路積分 / Feynman path integral / 経路積分 / 停留位相法 / Stationary phase method / 量子力学 / Schrodinger方程式 / WKB法

研究概要

1.研究代表者は、Feynman経路積分の準古典近似の第2項の形を決めた。2005年6月プラハで開催された国際会議path integral 2005で、招待講演をした。2005年10月にザンクトペテルブルグの物理数学研究所で研究成果を講演した。また、同研究所のPlamenevsky教授の学習院大滞在を援助し研究連絡をした。
2.分担者谷島は、シュレーディンガー作用素の波動作用素のL^p空間やソボレフ空間における有界性をとくにシュレーディンガー作用素が連続スペクトルの下端に特異性を持つ場合に研究し、空間の次元がm【greater than or equal】3のとき波動作用素がm/2とその双対指数のあいだのpに対してL^p有界であることを示した。ロシアとの2国間共同研究協力のリーダーを勤め、2005年10月ザンクトペテルブルグ物理数学研究所を本研究代表者等と共に訪問し講演をした。
3.分担者水谷は、退化放物型方程式の有限要素近似を考え、区分的1次の試行関数を用い、順序保存とL^1縮小の2つの性質をもつ半離散近似を提案した。そのスキームのL^1およびL^∞における安定性、および、適当な仮定のもとで、近似解が真の解へL^1収束することを示し、数値計算を行い理論的な結果の有効性を確かめた。
4.分担者渡辺は、(第三回非線形偏微分方程式研究集会(富山・氷見2006.3.9)において、"消散項を持つ作用素のスペクトルと散乱問題"の講演を行った。
5.分担者下村は、非線型Schrodinger方程式の解の漸近挙動に関して,時刻無限大で非線型性の寄与が無視出来るか否かの境目に相当する様な或る非線型項について研究し,この方程式の漸近自由解の非存在性についての成果を得た.又,瀬片純市氏との共同研究で,消散型非線型項を持つ4階Schrodigner型方程式の解の漸近形を求めた.

研究成果

• [雑誌論文] Smooth functional derivatives in Feynman path integrals by time slicing approximation. (2005)
  • 著者名/発表者名: Fujiwara, D
  • 雑誌名: Bulletin de Sciences Mathematiques. 129 ページ: 57-79
• [雑誌論文] The second term of the semi-classical asymptotic expansion of Feynman path integrals with integrand of polynomial growth. (2005)
  • 著者名/発表者名: Fujiwara, D
  • 雑誌名: Proc.8th international conference path integrals from quantum information to cosmology. (Praque) ページ: 8
• [雑誌論文] Dispersive estimates for Schrodinger equations with threshold resonance and eigenvalue, (2005)
  • 著者名/発表者名: Yajima, K.
  • 雑誌名: Commun.Math.Phys. 259 ページ: 475-509
• [雑誌論文] Exponential decay and spectral structure for wave equation with some dissipations. (2005)
  • 著者名/発表者名: Kadowaki, M.
  • 雑誌名: Tokyo J.Math. 28 no.2 ページ: 463-470
• [雑誌論文] Nonexistence of asymptotically free solutions for quadratic nonlinear Schrodinger equations in two space dimensions. (2005)
  • 著者名/発表者名: Shimomura, A.
  • 雑誌名: Differential and Integral Equations. 18 no.3 ページ: 325-335
• [雑誌論文] Local well-posedness and smoothing effects of strong solutions for nonlinear Schrodinger equations with potentials and magnetic fields. (2005)
  • 著者名/発表者名: Nakamura, Y.
  • 雑誌名: Hokkaido Mathematical Journal 34 no.1 ページ: 37-63
• [雑誌論文] Remarks on long range scattering for nonlinear Schrodinger equations with Stark effects. (2005)
  • 著者名/発表者名: Shimomura, A.
  • 雑誌名: Journal of Mathematics of Kyoto University 45 no.1 ページ: 205-216
• [雑誌論文] Scattering theory for the coupled Klein-Gordon-Schrodinger equations in two space dimensions II (2005)
  • 著者名/発表者名: Shimomura, A.
  • 雑誌名: Hokkaido Mathematical Journal 34 no.2 ページ: 405-433
• [雑誌論文] Finite element approximation for degenerate parabolic equations. An application of nonlinear semigroup theory. (2005)
  • 著者名/発表者名: Mizutani, A.
  • 雑誌名: M2AN Math.Model.Numer.Anal. 39 no.4 ページ: 755-780
• [雑誌論文] An improved remainder estimate of stationary phase method for some oscillatory integrals over a space of large dimension.
  • 著者名/発表者名: Fujiwara, D
  • 雑誌名: Funkcialaj Ekvacioj. (in press)
• [雑誌論文] The second term of the semi-classical asymptotic expansion for Feynman path integrals with integrand of polynomial order.
  • 著者名/発表者名: Fujiwara, D
  • 雑誌名: J.Math.Soc.Japan. (to appear)
• [雑誌論文] L^p-boundedness of wave operators with threshold singularities I, Odd dimensional case,
  • 著者名/発表者名: Yajima, K.
  • 雑誌名: J.Math.Sci.Univ.Tokyo. (to appear)
• [雑誌論文] Asymptotics of solutions to the fourth order Schrodinger type equation with a dissipative nonlinearity
  • 著者名/発表者名: Segata, J.
  • 雑誌名: Journal of Mathematics of Kyoto University (in press)