| 研究概要 |
本研究の目的は、次の熱源を持つ準線形放物型方程式のDirichlet問題(Ωが有界)またはCauchy問題(Ω=R^<n>)の非負解の挙動を調べる事である。u_t=Δu^m+F(x,t)∈Ω×(0,T)。ただし、m≧1で熱源FとしてF=u^p(p>m)またはF=u^P(xo(t),t)(p>m,xo(t)∈Ω)の場合を考える。
今年度は特にΩ=R^NでF=u^pを更に一般化した方程式u_t=Δu^m+f(u)∈R^N×(0,T)の初期値問題について考えた。ただし。∫(ξ)は、ξ>0で正でf(0)=0、解が爆発するための必要条件。∫^∞_11/∫(ξ)dξ<∞を満たすとする。この問題の大域解の非存在について次のような新しい結果を得る事ができた:それは、もし、0<β<2/(mN+2)なるあるβに対してξ^m+2/N/(-Iogξ)^β=0(f(ξ))asξ↓0が成り立つならば、次のどちらか一方が必ず成り立つというものである。(I)任意の非自明な解はいつでも有限時間で爆発する。(II)初期値がコンパクトなサポートを持つ任意の非自明な解はすべて時間大…域的に存在し、更にlim_t→∞inf|x|<R^u(x,t)=∞が任意のR>0について成り立つ。更に、(I)が成り,立つようなfの条件を具体的に与え、(II)が成り立つようなfの存在を示した。
これらの結果は爆発がfのξ=0の近くでの挙動によって決まる事を示すとともに、m=1の場合でさえも新しい結果である。なお、今年度は、前年度得たF=u^p(xo(t),t)(p>m,xo(t)∈Ω)の場合の、Dirichlet問題の大域解の有界性についての結果を論文としてまとめる事もできた。
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