| 研究概要 |
本研究の目的は、次の熱源を持つ準線形放物型方程式のDirichlet問題(Ωが有界)またはCauchy問題(Ω=R^N)の非負解の挙動を調べる事である。:u_t=Δu^m+F(x,t)∈Ω×(0,T)。ただし、m〓1でFとして通常の熱源.F=f(u)の場合または局所反応項F=f(u(x_0(t),t))(x_0(t)∈Ω)の場合を考える。Fはある爆発条件を満たすものとする。この方程式は様々な現象を表しており、また興味ある様々な問題を内包している。これらの問題に対して幾つかの新しい結果を得る事ができた。
(i)m〓1,Ωは有界領域でF=f(u(x_0(t),t))の時,大域解が有界かどうかがx_0(t)のt→∞での挙動で決まる事を示した。この結果は、すべての解の分類に関する結果の一部分として与えられる。なお、m>1の場合は、解の一意性が成り立つかどうかがわからないため、良い結果を得る事ができなかった。
(ii)m〓1,Ω=R^NでF=f(u)の場合に空間方向無限遠方で爆発する解の詳細な性質を調べた。特に、"最小時間で爆発する解"という概念を導入し、その解が無限遠方で爆発する事を示し、更にその解になるための必要十分条件を与えた。また、最小時間で爆発する解がある方向(無限遠方)で爆発するための必要十分条件も与えた。
(iii)m>1,Ω=R^NでF=f(u)の場合に、f(ξ)がどんな条件を満たす時解は有限時間で爆発するか調べ,新しい結果を得る事ができた。
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